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第3课时 空间向量与空间角、距离课时作业A组基础巩固1在矩形ABCD中,AB1,BC,PA平面ABCD,PA1,则PC与平面ABCD所成角是()A30B45C60D90解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,0),(1,1),平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1),所以cos,n,所以,n120,所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60,所以PC与平面ABCD所成角为30,故选A.答案:A2在长方体ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成角分别为60和45,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.BC. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,可知CB1C160,DC1D145,设B1C11,CC1DD1.C1D1,则有B1(,0,0,),C(,1,),C1(,1,0),D(0,1,)(0,1,),(,0,)cos,.答案:A3已知直二面角l,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足若AB2,ACBD1,则D到平面ABC的距离等于()A. B.C. D1解析:平面平面,且ACl,BDl,故AC平面,BD平面,依题意建立坐标系如图所示,在RtACD中,可得CD,故A(0,0,1),B(1,0),C(0,0,0),D(0,0),则(0,0,1),(1,0),(0,0)设平面ABC的一个法向量为n(x,y,z),则xy,z0,令y1,可得n(,1,0),故所求距离d.故选C.答案:C4.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AA1ABAC,ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直线PQ与AM所成的角为()A. B.C. D.解析:以A为坐标原点,AC,AB,AA1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1ABAC2,则(2,0,1),Q(1,1,0),P(0,1,2),(1,0,2),所以0,所以QP与AM所成角为.答案:D5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA12AB2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故(1,1,0),(0,1,2),(0,1,0)设平面BDC1的法向量为n(x,y,z),则即令z1,则y2,x2,所以平面BDC1的一个法向量为n(2,2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为,则sin |cosn,|,故选A.答案:A6设A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,1,1),D(1,1,1),则直线AD与平面ABC的夹角为_解析:设平面ABC的法向量n(x,y,z)n0,n0,所以即令x1,则n(1,1,0),cosn,n.直线AD与平面ABC的夹角.答案:7在空间中,已知平面过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面与平面xOy的夹角为45,则a_.解析:设平面的法向量为n1(x,y,z),记A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,a)(a0),则(3,4,0),(3,0,a)由题意知即取z3得n1(a,3),而n2(0,0,1)是平面xOy的一个法向量,则cosn1,n2,又a0,解得a.答案:8已知矩形ABCD中,AB1,BC,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与ACD垂直则B与D之间的距离为_解析:由B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,则可求得AM,BM,CN,DN.MN1.由于,|2()2|2|2|22()21222(000),|.答案:9.如图所示,已知在四面体ABCD中,O为BD的中点,CACBCDBD2,ABAD,(1)求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解析:(1)证明:因为BODO,ABAD,所以AOBD.因为BODO,BCCD,所以COBD.在AOC中,由已知可得AO1,CO,而AC2,所以AO2CO2AC2,所以AOC90,即AOOC.因为BDOCO,所以AO平面BCD.(2)以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,0),A(0,0,1),(1,0,1),(1,0),所以cos,所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABCD,ADCD1,BAD120,ACB90.(1)求证:BC平面PAC;(2)若二面角DPCA的余弦值为,求点A到平面PBC的距离解析:(1)证明:PA底面ABCD,BC平面ABCD,PABC,ACB90,BCAC,又PAACA,BC平面PAC.(2)设APh,取CD的中点E,则AECD,AEAB,又PA底面ABCD,PAAE,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,h),C,D,B(0,2,0),(0,0,h),求得平面PAC与平面PDC的一个法向量分别为n1(h,h,0),n2.cosn1,n2,h.又可求得平面PBC的一个法向量n3(3,2),所以,点A到平面PBC的距离为d.B组能力提升1在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A B.C D.解析:建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1)(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x,y,z)n,n,令y1,则n(1,1,0)cosn,设直线BE与平面B1BD所成角为,则sin |cosn,|.答案:B2正方形ABCD所在平面外有一点P,PA平面ABCD.若PAAB,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析:建系如图,设AB1,则A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量为n2(x,y,z),则得令x1,则z1.n2(1,0,1),cosn1,n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.答案:B3直线l的方向向量a(2,3,2),平面的一个法向量n(4,0,1),则直线l与平面所成角的正弦值为_解析:设直线l与平面所成的角是,a,n所成的角为,sin |cos |.答案:4在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AA19,BC6,N为BC的中点,则直线D1C1与平面A1B1N的距离是_解析:C1D1平面A1B1N,所求距离等于D1到平面A1 B1N的距离,不妨令|AB|1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(6,0,9),B1(6,1,9),N(3,1,0),(0,1,0),(3,0,9)设平面A1B1N的法向量为n(x,y,z),则即取z,则n (3,0,),又(6,0,0),故D1到平面A1B1N的距离为d9.答案:95.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD平面BCD,AE平面ABD,且AE.(1)求证:DEAC;(2)求DE与平面BCE所成角的正弦值解析:(1)以A为坐标原点,AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则E(0,0,),B(2,0,0),D(0,2,0),取BD的中点F,并连接CF,AF,由题意可得CFBD且AFCF,又平面BDA平面BDC,CF平面BDA,所以C的坐标为C(1,1,),(0,2,),(1,1,),(0,2,)(1,1,)0,故DEAC.(2)设平面BCE的法向量为n(x,y,z)则即令x1得n(1,1,),又(0,2,),设DE与平面BCE所成角为,则sin |cosn,|.6(2016高考全国卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF2FD,AFD90,且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角EBCA的余弦值解析:(1)证明:由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF,垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角,故DFE60,则|DF|2,|DG|,可得A(1,4,0),B(3,4,0),E(3,0,0),D(0,0,)由已知得ABEF,所以AB平面E FDC.又平面ABCD平面EFDCCD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF为二面角CBEF的平面角,CEF60.从而可得C(2,0,)所以(1,0,),(0,4,0),(3,4,),(4,0,0)设n(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n(3,0,)设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m(0,4)则cosn,m.故二面角EBCA的余弦值为.
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