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课时作业(二十一)用向量方法解决平行与垂直问题A组基础巩固1若n(2,3,1)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0,3,1)B(2,0,1)C(2,3,1) D(2,3,1)解析:问题即求与n共线的一个向量即n(2,3,1)(2,3,1)答案:D2已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量为u(1,3,z),向量v(3,2,1)与平面平行,则z等于()A3 B6C9 D9解析:l,v与平面平行,uv,即uv0,1332z10,z9.答案:C3已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是()A(1,1,1) B(1,1,1)C(1,1,1) D(1,1,1)解析:(1,1,0),(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x,y,z),则有取x1,则y1,z1.故平面ABC的一个法向量是(1,1,1)答案:D4在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析:建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E,(1,1,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)(1)(1)010,CEBD.答案:B5若两个不同平面,的法向量分别为u(1,2,1),v(3,6,3),则()ABC,相交但不垂直 D以上均不正确解析:v3u,.答案:A6已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且平面ABC,则等于()A. B.C. D.解析:由0得352z0,z4.又平面ABC,即解得答案:C7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是_解析:由于12(1)2(4)(1)0,4(1)220(1)0,所以正确答案:8在直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx1,2cos2x2,0)和点Q(cosx,1,3),其中x0,若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为_解析:由OPOQ,得0.即(2cosx1)cosx(2cos2x2)(1)0.cosx0或cosx.x0,x或x.答案:或9如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三角形,AC2a,BB13a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE面B1DE,则AE_.解析:建立如图所示的坐标系,则B1(0,0,3a),D,C(0,a,0)设E(a,0,z)(0z3a),则(a,a,z),(a,0,z3a)由题意得2a2z23az0,解得za或2a.故AEa或2a.答案:a或2a10如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M是线段EF的中点求证:(1)AM平面BDE;(2)AM平面BDF.证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系设ACBDN,连接NE,则点N,E的坐标分别是,(0,0,1),.又点A,M的坐标分别是(,0),.,且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE,AM平面BDE,AM平面BDE.(2)由(1)知,D(,0,0),F(,1),(0,1)0.同理.又DFBFF,AM平面BDF.B组能力提升11直线l的方向向量为a,平面内两共点向量,下列关系中能表示l的是()Aa BakCap D以上均不能解析:A、B、C均能表示l或l.答案:D12如图,已知矩形ABCD,AB1,BCa,PA平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQQD,则a的值等于_解析:如图,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,a,0)设Q(1,x,0)(0xa)P(0,0,z)则(1,x,z),(1,ax,0)由PQQD,得1x(ax)0,即x2ax10.由题意知方程x2ax10只一解a240,a2,这时x10,a答案:213如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD中,ABC60,PA平面ABCD,PAACa,PBPDa,点E在PD上,且PEED21.在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论解析:存在证明如下:当F是棱PC的中点时,BF平面AEC.()()(),共面又BF平面AEC,BF平面AEC.14如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E为PC的中点,EFBP于点F.求证:(1)PA平面EDB;(2)PB平面EFD.证明:以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,设DCPD1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E.(1,1,1),设F(x,y,z),则(x,y,z1),.,x0,即xyz0.又,可设,x,y,z1.由可知,x,y,z,.(1)设n1(x1,y1,z1)为平面EDB的一个法向量,则有取z11,则n1(1,1,1)(1,0,1),n10.又PA平面EDB,PA平面EDB.(2)设n2(x2,y2,z2)为平面EFD的一个法向量,则有取z21,则n2(1,1,1)n2,PB平面EFD.15如图所示,直棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,BADADC90,AB2AD2CD2.(1)求证:AC平面BB1C1C;(2)在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行?证明你的结论解:(1)证明:以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,ADCD1,AB2,D(1,0,0),B(0,2,0)设AA1a,则A1(0,0,a),B1(0,2,a),C1(1,1,a),C(1,1,0)(1,1,0),(1,1,0),(0,0,a),1100,0000,ACBC,ACBB1,又BCBB1B,AC平面BB1C1C.(2)点P存在,证明如下,假设存在一点P(0,y,a),则(1,y,a)由(1)知,平面BCB1的法向量为.(1,y,a)(1,1,0)1y.又DP平面BCB1,0,y1.设n(x,y,z)为平面ACB1的一个法向量,n0,n0,又(1,1,a),n为.DP平面ACB1,n,n(1)(y)yyay2y0,y0(舍去)或y1,这与0时相一致,故假设成立存在一点P,且P为A1B1中点,使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行
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