第一章 常用逻辑用语单元质量评估(一) (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是()A.xR,x0B.如果x5,则x2C.xR,x2-1D.xR,x2+10【解析】选D.A中,若x取负数,x0不成立,故A错;B中,若取x=45,x0恒成立,则m;命题q:在ABC中,AB是sinAsinB的充要条件,则()A.p假q真B.“p且q”为真C.“p或q”为假D.p假q真【解析】选B.易判断出命题p为真命题,命题q为真命题,所以p为假,q为假.结合各选项知B正确.8.(2017烟台高二检测)下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()p:cos=cos,q:tan=tan;p:=1,q:y=f(x)是偶函数;p:AB=A;q:BA;p:m6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.A.B.C.D.【解析】选C.当=,=-时,cos=cos,tantan,故pq,同理pq,不符合;由=1f(x)=f(-x)f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,不符合;AB=AABBA,符合;函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为=m2-4(m+3)0,即(m+2)(m-6)0,解得m6,符合.9.下列命题的否定是真命题的是()A.在ABC中,存在AB,使sinAsinBB.空间中任意两条没有公共点的直线都平行C.任两个全等三角形的对应角都相等D.x,yR,x2+y2-4x+6y=0【解析】选B.选项A,C,D原命题都正确,其否定错误,B中两直线可能平行,也可能异面,所以B中原命题为假,否定为真.10.(2017西安高二检测)若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q与r的关系是()A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.不能确定【解析】选B.设命题p为“若a,则b”,则命题q为“若b,则a”,命题r为“若b,则a”,故命题q与r互为否命题.【补偿训练】下面说法正确的是()A.命题“x0R,使得+x0+10”的否定是“xR,使得x2+x+10”B.实数xy是x2y2成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“pq”为假命题,则“pq”也为假命题D.命题“若=0,则cos=1”的逆否命题为真命题【解析】选D.对A,命题的否定是:“xR,使得x2+x+1y x2y2,且x2y2 xy,故不正确.对于C,若“pq”为假命题,则“pq”为真命题,故不正确.对于D,若=0,则cos=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.11.已知命题p:“对xR,mR,使4x+2xm+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是()A.-2m2B.m2C.m-2D.m-2或m2【解析】选C.因为p假,所以p真.对xR,t=2x0,即求使t2+mt+1=0(t0)成立的m的范围,而二次函数y=t2+mt+1开口向上,且恒过定点(0,1),故所以m-2.12.(2017武汉高二检测)定义域为R的偶函数f(x)满足对xR,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x2,3时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+)上至少有三个零点,则a的取值范围为()A.B.C.D.【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.【解析】选B.由于定义域为R的偶函数f(x)满足对xR,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,如图,因为y=loga(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)f(2)=-2且0a2;命题q:1.则p是q的_条件.【解析】p:x1或x-3,q:2x3,所以p:-3x1,q:x2或x3,所以p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要15.(2017武汉高二检测)设nN*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_.【解析】由=16-4n0得n4,又因为nN*,故n=1,2,3,4,验证可知n=3,4,符合题意;反之,当n=3,4时,可以推出一元二次方程有整数根.答案:3或4【补偿训练】已知p:-4x-a0,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是_.【解析】p:a-4xa+4,q:2x3,因为p是q的充分条件(即pq),所以qp,所以所以-1a6.答案:-1,616.下列几个命题中,“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为”的充要条件;“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;函数y=的最小值为2.其中是假命题的为_(将你认为是假命题的序号都填上)【解析】“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为,即y=cos2kx,T=,k=1.“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;函数y=+,令=t,t,ymin=+=.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)把下列命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.(1)若=,则sin=sin.(2)若梯形的对角线相等,则梯形为等腰梯形.(3)已知a,b,c,d都是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.【解析】(1)逆命题:若sin=sin,则=;否命题:若,则sinsin;逆否命题:若sinsin,则.(2)逆命题:若梯形为等腰梯形,则它的对角线相等;否命题:若梯形的对角线不相等,则梯形不是等腰梯形;逆否命题:若梯形不是等腰梯形,则它的对角线不相等.(3)逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d;否命题:已知a,b,c,d都是实数,若ab或cd,则a+cb+d;逆否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+cb+d,则ab或cd.18.(12分)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,那么a1”的逆否命题的真假.【解析】方法一:(直接法)逆否命题:已知a,x为实数,如果a1,那么关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集.判断如下:二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a1,所以4a-71,所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.19.(12分)(2017临沂高二检测)已知p:x2-8x-200,q:x2-2x+1-a20,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.【解析】p:A=x|x10,q:B=x|x1+a,a0,如图:依题意,pq,但qp,所以AB,所以解得0a3,所以实数a的取值范围是0a3.20.(12分)(2017宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+