3.4导数在实际生活中的应用1导数在实际生活中有着广泛的应用如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决2利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型(3)解模：把数学问题转化为函数求解(4)检验面积、容积的最值例1用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？思路点拨设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解精解详析设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)(0x24)令V(x)0，得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)是减函数因此，在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.一点通解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点1要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，则V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx(25)25x，S2525.令S0，得x140，令S0，得20x140.函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140)当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.用料最省问题例2某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？思路点拨解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值精解详析(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小一点通用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V27r2h，h，若用料最省，则表面积最小，设表面积为S，则Sr22rhr22r2，S2r，令S0，得r3.当0r3时，S3时，S0，S(r)为增函数当r3时，S取最小值，即用料最省答案：34某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)_解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短设场地宽为x米，则长为 m，因此新墙总长L2x(x0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(m)，可使L最短答案：32,16利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路点拨(1)根据“销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11 kg”可知销售函数图像过点(5,11)将其代入可求得a的值；(2)利润为y(每件产品的售价每件产品的成本)销量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值精解详析(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大一点通(1)利润(收益)销售额成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值这是实际问题中求最值的常用方法5已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件解析：因为yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：96已知某工厂生产x件产品的成本为c25 000200xx2(元)问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200(x0)，y，令y0，得x1 000或x1 000(舍去)当0x1 000时，y1 000时，y0，故当x1 000时，y取极小值，而只有一个点使y0，故函数在该点处取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数为S(x)500x300x25 000，S(x)300，令S(x)0，得x6 000，当0x0，当x6 000时，S(x)0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_解析：设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以xd时，f(x)有最大值答案：d3将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则两矩形面积之和的最小值为_解析：如图所示，设边长之比为21的矩形周长为x，则边长之比为32的矩形周长为lx，两矩形面积之和为S(lx)2，0xl.由S(xl)0，得xl.当x变化时，S，S的变化情况如下表：xlS0S单调递减l2单调递增由上表可知，当xl时，S的最小值为l2.答案：4如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，则它的底面半径等于_时(用含有的式子表示)，可使所用的材料最省解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，