平面向量与圆锥曲线的综合问题2例 1已知 F1、F2 分别是椭圆xy21 的左、右焦点 .45（）若P 是第一象限内该数轴上的一点，PF1 ? PF2，求点 P 的作标；4（）设过定点 M（ 0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B，且 ADB 为锐角（其中 O 为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知 a2 ， b1 ， c3 F1 (3,0) ， F2 (3,0) 设 P( x, y) ( x0, y0) 则PF1 PF2(3 x, y)( 3 x, y) x2y235 ，又 x2y21 ，44x2y27x21x134 ，解得3 ， P(1,联立223) xy21y4y224（）显然 x0 不满足题设条件可设l 的方程为 ykx2 ，设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) 联立x2y21x24(kx2)24(14k2) x216kx1204ykx 2 x1x21122 ， x1x2116k2由(16k)24 (1 4k2 ) 1204k4k16k 23(14k2 )0，4k 230， 得 k 23 又AOB 为 锐 角4cos AOB0OA OB0 ， OA OBx1x2y1 y20又 y1 y2( kx12)( kx22) k 2 x1x22k (x1x2 ) 4x1x2y1 y2(1 k 2 ) x1 x22k (x1 x2 ) 4(1 k 2 )1222k (16k2 )414k14k第- 1 -页共 7页12(1k2 ) 2k16k44(4k 2 )124 1 4k 21 4k 21 4k 20k4综可知 3k 24 ， k 的取值范围是 (2,3 )(3 , 2)422例 2 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线22x 上，其中O 为坐标原点，设圆C 是yOAB 的内接圆（点 C 为圆心）（ I）求圆 C 的方程；（ II）设圆 M 的方程为 (x47cos)2( y7cos) 21 ，过圆 M 上任意一点P 分别作圆 C 的两条切线 PE，PF ，切点为 E，F ，求 CE ?CF 的最大值和最小值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14 分（ I）解法一：设A，B 两点坐标分别为y12， y1，y22， y2，由题设知22y22y22y2y222221y21y212( y1y2 )2222解得 y12y2212 ，所以 A(6，23) ， B(6， 23) 或 A(6， 23)， B(6，23) 设圆心 C 的坐标为 (r，0) ，则 r2 64，所以圆 C 的方程为 ( x4)2y2163解法二：设A， B 两点坐标分别为( x1，y1 ) ， (x2， y2 ) ，由题设知x12y12x22y22 又因为 y122x1 ， y222x2 ，可得 x122x1x222x2 即(x1x2 )( x1x2 2)0 由 x10 ， x20 ，可知 x1x2，故 A，B 两点关于 x 轴对称，所 以 圆 心 C 在 x 轴 上 设 C 点 的 坐 标 为 ( r，0) ， 则 A 点 坐 标 为3 r， 3 r， 于 是 有223 r23 r ，解得 r 4 ，所以圆 C 的方程为 ( x 4) 22y 21622（ II）解：设ECF2a ，则 CE CF | CE | | CF | cos 216cos 232cos 216 在 Rt PCE中， cosx4，由圆的几何性质得| PC | PC |第- 2 -页共 7页| PC | MC |17 18 ， | PC | MC |1716，所以1 cos 2 ，由此可23得8 CE CF 16 则 CE CF 的最大值为16 ，最小值为8 99例 3 已知 F (1，0)，直线 l : x1， P 为平面上的动点，过点P 作 l 的垂线，垂足为点Q ，且 QP ?QF FP ? FQ （ ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（ ）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A， B两点，交直线 l 于点 M （ 1）已知 MA1 AF ，MB2BF ，求 12 的值；（2）求 MA MB的最小值y解法一：（）设点 P(x， y) ，则 Q(1， y) ，由 QP QFFP FQ 得：QPB(x 1，0)(2， y)(x 1， y) (2， y) ，化简得 C : y24x （）（1）设直线 AB 的方程为：OFx1， 2Ax my1(m0) 设 A(x1， y1) ， B( x2， y2 ) ，又 M，Mmy2，224xx得：，联立方程组，消去y 4my40( 4m) 120x，my 1y1 y2，224m1 AF MB2 BF 得： y11 y1 y22 y2y1 y2 由， MAmm4整理得：1