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,名校名师推荐 ,4.3.2函数的极大值和极小值一、基础达标1. 函数 y f ( x) 的定义域为 ( a,b) ,yf (x) 的图象如图,则函数y f ( x) 在开区间 ( a, b) 内取得极小值的点有()A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个答案A解析当满足 f (x) 0 的点,左侧 f (x) 0,右侧 f (x) 0 时,该点为极小值点,观察题图,只有一个极小值点2“函数 yf ( x) 在一点的导数值为0”是“函数 y f ( x) 在这点取得极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析对于 f ( x) x3,f (x) 3x2, f (0) 0,不能推出 f ( x) 在 x 0 处取极值,反之成立故选B.3若 a 0,b 0,且函数 f ( x) 4x3 ax2 2bx 2 在 x1 处有极值,则ab 的最大值等于()A 2 B 3 C 6 D 9答案D解析( ) 12x22ax 2b,f(x) 在x 1处有极值,fx f (1) 12 2a 2b 0, a b6.又 a 0, b 0, a b2 ab, 2 ab6,ab9,当且仅当 a b 3 时等号成立,ab 的最大值为9.4函数 y x33x2 9x( 2 x 2) 有()A极大值5,极小值 27B极大值5,极小值 11C极大值5,无极小值D极小值 27,无极大值1,名校名师推荐 ,答案C解析由y 3x2 6 9 0,得x 1 或x 3,当x 1 或x 3 时,y 0,当x1 x 3 时, y0. 故当 x 1 时,函数有极大值5;x 取不到 3,故无极小值5函数 f ( x) x3 3ax2 3( a 2) x 3既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是_答案( , 1) (2 ,)解析 f (x) 3x26ax 3( a 2) ,令 3x2 6ax 3( a 2) 0,即 x22ax a2 0,函数f() 有极大值和极小值,方程x2 2 2 0 有两个不相等的实数根,即xaxa 4a2 4a8 0,解得 a 2 或 a 1.6若函数 yx3 3axa 在 (1,2)内有极小值,则实数a 的取值范围是 _答案(1,4)解析y 3x2 3a,当 a0时,y 0,函数 y x3 3ax a 为单调函数, 不合题意,舍去;当 0 时,y 3 2 3 0?xa,不难分析,当axa1a 2,即 1a 4时,函数 yx3 3ax a 在 (1,2) 内有极小值7求函数2x的极值f ( x) x e解 函数的定义域为R, x21f (x) 2xex ex 2xe x x2ex x(2 x)e x ,令 f (x) 0,得 x 0 或 x2.当 x 变化时, f (x) , f ( x) 的变化情况如下表:x( , 0)0(0,2)2(2 ,)f (x)00f ( x)04e 2由上表可以看出,当 x 0 时,函数有极小值,且为 f (0) 0;当 x 2 时,函数有极大值,且为 f (2) 4e2.二、能力提升8已知函数f ( x) , xR,且在 x 1 处, f ( x) 存在极小值,则2,名校名师推荐 ,()A当x ( , 1)时,f( ) 0;当x (1 , ) 时,f( ) 0xxB当 x ( , 1)时, f(x) 0;当 x (1 , ) 时, f(x) 0C当 x ( , 1)时, f(x) 0;当 x (1 , ) 时, f(x) 0D当x ( , 1)时,f( ) 0;当x (1 , ) 时,f( ) 0xx答案C解析 f ( x) 在 x1 处存在极小值,x 1 时, f (x) 0, x 1 时, f (x) 0.9(2013 福建 ) 设函数 f ( x) 的定义域为R,x0( x00) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是()A ? x R, f ( x) f ( x0)B x0 是 f ( x) 的极小值点C x0 是 f ( x) 的极小值点D x0 是 f ( x) 的极小值点答案D解析x0( x00) 是 f ( x) 的极大值点,并不是最大值点故A 错; f ( x) 相当于f ( x) 关于 y 轴的对称图象的函数,故x0 应是 f ( x) 的极大值点, B 错; f ( x) 相当于 f ( x)关于 x 轴的对称图象的函数,故x0 应是 f ( x) 的极小值点跟x0 没有关系, C 错;f ( x) 相当于 f ( x) 关于坐标原点的对称图象的函数故D正确10. 如果函数 y f ( x) 的导函数的图象如图所示,给出下列判断:1函数 yf ( x) 在区间 3, 2 内单调递增;1函数 yf ( x) 在区间 2, 3 内单调递减;函数 yf ( x) 在区间 (4,5)内单调递增;当 x 2 时,函数 y f ( x) 有极小值;1当 x 2时,函数y f ( x) 有极大值则上述判断正确的是_ ( 填序号 )答案解析函数的单调性由导数的符号确定,当x ( , 2) 时,( ) 0,所以f(x)fx在( , 2) 上为减函数,同理 f ( x) 在 (2,4)上为减函数,在 ( 2,2) 上是增函数,在(4 , ) 上为增函数,所以可排除和,可选择. 由于函数在x 2 的左侧递增,3,名校名师推荐 ,右侧递减,所以当x 2 时,函数有极大值;而在x112的左右两侧,函数的导数都是正数,故函数在x 2的左右两侧均为增函数,所以x 1不是函数的极值点排除和 .23122511已知 f( x) x 2mx2mx 4( m为常数,且m 0) 有极大值 2,求 m的值22,解 f (x) 3x mx 2m ( x m)(3 x 2m)2令 f (x) 0,则 x m或 x m. 3当 x 变化时, f (x) , f ( x) 的变化情况如下表:x( ,m ,222,)m3m3m3mmf (x)00f ( x)极大值极小值
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