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计时双基练十三变化率与导数、导数的计算A组基础必做1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)。答案C2如图,函数yf(x)的图像在点P处的切线方程是yx8,则f(5)f(5)()A2 B6C2 D4解析由图可知,f(5)3,f(5)1,因此f(5)f(5)2。答案A3设曲线y在点处的切线与直线xay10平行,则实数a等于()A1 B.C2 D2解析y,y|x1,由条件知1,a1,故选A。答案A4下面四个图像中,有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的导函数yf(x)的图像,则f(1)()A. BC. D或解析f(x)x22axa21,f(x)的图像开口向上,则排除。若f(x)的图像为,此时a0,f(1);若f(x)的图像为,此时a210,又对称轴xa0,a1,f(1)。答案D5(2015保定调研)已知曲线yln x的切线过原点,则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析yln x的定义域为(0,)。设切点为(x0,y0),则kf(x0),切线方程为yy0(xx0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y01,则x0e,kf(x0)。答案C6已知f1(x)sin xcos x,fn1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)f1(x),f3(x)f2(x),fn1(x)fn(x),nN,则f2 016(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析f1(x)sin xcos x,f2(x)f1(x)cos xsin x,f3(x)f2(x)sin xcos x,f4(x)f3(x)cos xsin x,f5(x)f4(x)sin xcos x,fn(x)是以4为周期的函数,f2 016(x)f4(x)sin xcos x,故选B。答案B7已知函数f(x)的导函数f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)_。解析f(x)2xf(1)ln x,f(x)2xf(1)(ln x)2f(1),f(1)2f(1)1,即f(1)1。答案18在平面直角坐标系xOy中,若曲线yax2(a,b为常数)过点P(2,5),且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行,则ab的值是_。解析yax2的导数为y2ax,直线7x2y30的斜率为。由题意得解得则ab3。答案39(2015开封调研)若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_。解析f(x)x2axln x,f(x)xa。f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,xa0有解,ax2(x0)。答案2,)10求下列函数的导数。(1)yxtan x;(2)y(x1)(x2)(x3)。解(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x。(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11。11已知函数f(x)x3x16。(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直,求切点坐标与切线的方程。解(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上。f(x)(x3x16)3x21,在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13。切线的方程为y13(x2)(6),即y13x32。(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)3x1,直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016,又直线l过点(0,0),0(3x1)(x0)xx016,整理得,x8,x02。y0(2)3(2)1626,k3(2)2113。直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)。(3)切线与直线y3垂直,切线的斜率k4。设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)3x14,解得x01。或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18。即y4x18或y4x14。B组培优演练1已知f(x)x2sin,则f(x)的图像是()解析解法一:f(x)x2sinx2cos x,故f(x)xsin x,记g(x)f(x),其定义域为R,且g(x)(x)sin(x)g(x),所以g(x)为奇函数,所以排除B、D两个选项。又当x时,gsin 10,故排除C,选A。解法二:同解法一排除B,D两个选项。g(x)cos x,显然当x时,g(x)0,g(x)在上单调递减,故排除C,选A。答案A2给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数。记f(x)(f(x),若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f(x)的正负。对于A,f(x)cos xsin x,f(x)sin xcos x,在x上,恒有f(x)0;对于B,f(x)2,f(x),在x上,恒有f(x)0;对于C,f(x)3x22,f(x)6x,在x上,恒有f(x)0。答案D3若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切,则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0,x),所以切线方程为yx3x(xx0),即y3xx2x,又(1,0)在切线上,则x00或x0,当x00时,由y0与yax2x9相切可得a,当x0时,由yx与yax2x9相切可得a1,所以选A。答案A4设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120。(1)求f(x)的解析式;(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求此定值。解(1)方程7x4y120可化为yx3。当x2时,y。又f(x)a,于是解得故f(x)x。(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y1知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(xx0),即y(xx0)。令x0,得y,从而得切线与直线x0的交点坐标为。令yx,得yx2x0,从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)。所以点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6。故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值,且此定值为6。
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