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学会学习,提高成绩,赵老师tel:18002505508,初中数学公理和定理,一、公理(不需证明) 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;,4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) 5、三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理:两点之间,线段最短。 8、直线公理:过两点有且只有一条直线。 9、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 10、垂直性质:经过直线外或直线上一点,有且只有一条 直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类: 一、直线与角 1、两点之间,线段最短。 2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直 线垂直。 6、经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平 行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最 短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定: 同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行; 垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直 线也平行 10、平行线的性质: 两直线平行,同位角相等。 两直线平行,内错角相等。 两直线平行,同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化(轴对称、平称、 旋转) 11、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等. 12、角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这 个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到 这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距 离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 15、轴对称的性质: 如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线 段被对称轴垂直平分. 对应线段相等、对应角相等。 16、平移:经过平移,图形上的每个点都沿着相同方向移 动了相同的距离,平移后,新图形和原图形的形状和大小 都没有发现改变,即它们是全等图形。即对应线段平行且 相等,对应角相等,对应点所连的线段平行且相等,17、旋转对称: (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 (2) 对 应 点 到 旋 转 中 心 的 距 离 相 等 ; (3)对应线段相等、对应角相等,3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) 1 8 、 中 心 对 称 :,具有旋转对称的所有性质: 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被 对称中心平分 四、三角形: (一)一般性质 19、三角形内角和定理:三角形的内角和等于180 20、三角形外角的性质: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角; 三角形的外角和等于360 21、三边关系: 两边之和大于第三边; 两边之差小于第三边 22、三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边的一半 23、三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心), 这点 到三个顶点的距离(外接圆半径)相等。 24、三角形的三条角平分线交于一点(内心),这点到三 边的距离(内切圆半径)相等。 (二)特殊性质: 25、等腰三角形、等边三角形 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对 的边也相等(简写成“等角对等边”) “三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和底边上的高互相重合 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都 等于60 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 26、直角三角形: 直角三角形的两个锐角互余; 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方; 勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于 另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它 所对的直角边等于斜边的一半. 三角形一边的中线等于这边的一半,这个三角形是直 角三角形。 五、四边形 27、多边形中的有关公理、定理: (1)四边形的内角和为360 (2)N边形的内角和:( n2)180. (3)任意多边形的外角和都为360 28、平行四边形的性质: 平行四边形的对边平行且相等; 平行四边形的对角相等; 平行四边形的对角线互相平分。,1,29、平行四边形的判定: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 30、矩形的性质: 具有平行四边形的所有性质 矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等且互相平分. 31、矩形的判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形。 32、菱形的性质: 具有平行四边形的所有性质 菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平 分一组对角. 33、菱形的判定: 四条边相等的四边形是菱形. 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 34、正方形的性质: 具有矩形、菱形的所有性质 正方形的四个角都是直角; 正方形的四条边都相等; 正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一 条对角线平分一组对角. 35、正方形的判定:(证明既是矩形又是菱形) 有一个角是直角的菱形是正方形; 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 36、等腰梯形的判定: 同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形; 两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 37、等腰梯形的性质: 等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等; 等腰梯形的两条对角线相等. 38、梯形的中位线平行于梯形的两底边,并且等于两底和 的一半. 四、相似形与全等形 39、全等多边形的对应边、对应角分别相等. 40、全等三角形的判定: 如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两 个三角形全等(SSS.). 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么 这两个三角形全等(SAS.) 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等, 那么这两个三角形全等(ASA). 有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个 三角形全等(AAS.) 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应 相等,那么这两个直角三角形全等.(H.L.) 41、相似三角形的性质:对应边、周长、对应线段的比均 等于相似比,面积比等于相似比的平方 42、相似三角形的判定:(类似于全等判定) 平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成 的三角形与原三角形相似。 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角 对应相等,那么这两个三角形相似;,A,C,B,D,E,3(1),A,2,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边 对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似; 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例,那么这两个三角形相似. 43、相似多边形的性质:同相似三角形 44、相似多边形的判定:对应边成比例且对应角相等 五、圆 45、(1)圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它 的对称轴。 (2)圆是中心对称图形,对称中心是圆心。 46、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧。 47、垂径定理推论: 如果一条直线具有过圆心(直径)、 垂直弦、平分弦、平分弦所对的劣弧(优弧)中知二得二。 48、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦相等。 49、同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 50、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半 (1)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角); (2)90的圆周角所对的弦是圆的直径. (3)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,圆 周角相等则所对的弧相等; 51、不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 52、切线的判定(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. 53、切线的性质(2)圆的切线垂直于过切点的直径。 附:扩展部分: 1、从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 2、射影定理: 直角三角形斜边上高分成的两直角三角形与原三角形相 似,并且有以下关系: (1)AC2=ADAB (2)BC2=BDAB (3)CD2=ADBD 3、(1)如图(1)有:AEBE=CEDE (2)如图(2),AB是直径,CDAB ,则:CD2=ADBD C,D,3(2),B,
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