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专题06 不等式(解答题)1(辽宁省营口市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题)已知,比较与的大小.【答案】【分析】利用作差法,将作差比较大小即可.【解析】.,当且仅当时,取等号,.2(湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一下学期期末数学试题)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)解关于x的不等式.【答案】(1).(2)时,不等式无解;时,不等式的解集为;时,不等式的解集为.【分析】(1)根据一元二次不等式的解的结果,直接得到答案;(2)对与2的大小关系分三种情况讨论,可得结果.【解析】(1)时,不等式化为,解得或,不等式的解集为.(2)关于x的不等式,即;当时,不等式化为,不等式无解;当时,解不等式,得;当时,解不等式,得;综上所述,时,不等式无解,时,不等式的解集为,时,不等式的解集为.3(浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题)若实数x,y满足约束条件.(1)在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域;(2)若,求z的最大值.【答案】(1)作图见答案 ;(2)11.【分析】(1)直接由约束条件作出平面区域;(2)化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解析】(1) 条件作出平面区域如图.约束条件所表示的平面区域为图中三角形部分.(2) 中表示直线的截距的相反数.当直线的截距最小时,有最大值.如图当直线过点时,截距最小.所以z的最大值为.所以z的最大值为11.4(黑龙江省哈尔滨市德强高中2019-2020学年高一下学期数学期末试题)关于的不等式的解集为.(1)求的值;(2)求关于的不等式的解集【答案】(1);(2).【分析】(1)关于的不等式的解集为,说明,且1和2是方程的两实数根,利用根与系数关系可以直接求解出的值;(2)由(1)可知的值,根据一元二次不等式的求解方法,可以直接求解出不等式的解集【解析】(1)关于的不等式的解集为,且1和2是方程的两实数根,由根与系数的关系知,解得;(2)由(1)知,时,不等式为,不等式的解集是.5(【新教材精创】教学设计)日常生活中,在一杯含有克糖的克糖水中,再加入克糖,则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式,并加以证明.【答案】,证明见解析【分析】首先分别求出原来糖水的浓度和加入克糖后的浓度,根据题意得到,再作差比较即可证明不等式.【解析】由题知:原来糖水的浓度为,加入克糖后的浓度为,.因为这杯糖水变甜了,所以,整理得:,.因为,又因为,所以,所以,即证.6(江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期期末数学试题)解下列关于x的不等式:(1);(2).【答案】(1);(2).【分析】(1)整理化简,对一元二次不等式分解因式,求解即可;(2)将不等式移项,根据分子恒为负数,则只需求的解集即可.【解析】(1)原不等式可化为,即,解得或,所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为,整理得,由于其恒为负值,故只要,即,解之得.所以原不等式的解集为.7(安徽省黄山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题)已知函数,且的解集为.(1)求函数的解析式;(2)解关于x的不等式,;(3)设,若对于任意的都有,求M的最小值.【答案】(1)(2)答案不唯一,具体见解析(3)【分析】(1)根据韦达定理直接求解即可.(2)转化为,然后分别对,进行讨论即可.(3)因为对于任意的都有,转化为,进而得到,然后分别求出,即可.【解析】(1)因为的解集为,所以的根为,2,所以,即,;所以;(2),化简有,整理,所以当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,(3)因为时,根据二次函数的图像性质,有,则有,所以,因为对于任意的都有,即求,转化为,而,所以此时可得,所以M的最小值为.8(山东省枣庄三中2019-2020学年高一10月学情调查数学试题)解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+60(aR).【答案】详见解析【分析】首先讨论不等式的类型:(1)a0时,是一次不等式;(2)a0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,再讨论两根与2的大小【解析】原不等式可化为:(ax3)(x2)0;当a0时,化为:x2;当a0时,化为:(x)(x2)0,当2,即0a时,解为:x或x2;当2,即a时,解为:x2;当2,即a时,解为:x2或x,当a0时,化为:(x)(x2)0,解为:x2综上所述:当a0时,原不等式的解集为:(,2);当a0时,原不等式的解集为:(,2);当0a时,原不等式的解集为:(,2)(,+);当a时,原不等式的解集为:(,2)(2,+);当a时,原不等式的解集为:(,)(2,+)【点睛】(1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集(2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即判别式的符号进行分类,最后当根存在时,再根据根的大小进行分类9(四川省自贡市第十四中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷)关于x的不等式的解集为R,求实数a的取值范围.【答案】【分析】分和两种情况进行讨论,结合二次函数的图象特征即可列出关于实数a的不等式,进而可求出实数a的取值范围.【解析】若,当时,原不等式为恒成立,符合题意;当时,原不等式为,则解集为 ,不符合题意;若,即时, ,解得,综上所述,即.10(安徽省合肥一中2019-2020学年高二(下)开学数学试题)已知函数f(x)|2x1|+2|x+1|(1)求不等式f(x)5的解集;(2)若存在实数x0,使得f(x0)5+mm2成立的m的最大值为M,且实数a,b满足a3+b3M,证明:0a+b2【答案】(1) ;(2)证明见解析.【分析】(1)先将不等式进行化简可得,利用绝对值的几何意义求解.(2)结合绝对值的几何意义求出的最小值,从而求出得到,利用基本不等式即可证明.【解析】(1) ,则,由绝对值的几何意义可得和时使得等号成立,所以解集为 (2)由绝对值的几何意义已知的最小值为,所以,解得,所以,所以,因为,所以,由得,则,综上所述,.11(山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学(理)试题)已知函数,.当时,求满足的的取值范围;解关于的不等式;若对于任意的,均成立,求的取值范围【答案】;当时,解集为;当 时,解集为空集;当时,解集为;.【分析】当时,解一元二次不等式求得的取值范围;化简为一元二次不等式形式并因式分解,对分成,三类进行讨论,求出不等式解集;将的式子转化成一元二次不等式,根据二次函数的性质求出的取值范围【解析】当时,所以,即 ,解得.所以的解集为. 由,得 ,所以 ,当时,解集为;当 时,解集为空集;当时,解集为.因为对于任意的, 恒成立,即对任意的时,成立,根据二次函数的性质可知,对称轴,所以,解得.所以的取值范围是.12(四川省绵阳南山中学2019-2020学年高一6月月考数学试题)设函数(1)若,且,求的最小值;(2)若,且在上恒成立,求实数的取值范围【答案】(1);(2).【分析】(1)由,求得,利用基本不等式,即可求解的最小值;(2)由,求得,得到不等式在上恒成立,等价于是不等式解集的子集,分类讨论求得不等式的解集,进行判定,即可求解.【解析】(1)函数,由,可得,所以,当时等号成立,因为,解得时等号成立,此时的最小值是. (2)由,即,又由在上恒成立,即在上恒成立,等价于是不等式解集的子集,当时,不等式的解集为,满足题意;当时,不等式的解集为,则,解得,故有;当时,即时,不等式的解集为,满足题意; 当时,即时,不等式的解集为,不满足题意,(舍去),综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,以及一元二次不等式的恒成立问题的求解,其中解答中熟记基本不等式的应用,以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.13(山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学(文)试题)已知函数(1)当时,求满足的的取值范围;(2)解关于的不等式【答案】(1);(2)当时,解集为;当时,解集为空集;当时,解集为【分析】(1)解一元二次不等式可得;(2)分类讨论,根据两根据的大小分类讨论【解析】(1)当时,所以,即解得.所以的解集为. (2) 由,得 ,所以 ,当时,解集为;当时,解集为空集;当时,解集为【点睛】本题考查解一元二次不等式,对含参数的不等式一般需要分类讨论,分类的层次有三个:一是最高次项系数的正负或者是0,二是对应的一元二次方程有无实数解,三是方程有实数解,方程两根的大小关系14(吉林省白城市洮南市第一中学2019-2020学年高二期末考试数学(文科)试卷)已知,求证:(1)(2)【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)由,即可求解;(2)由,再结合基本不等式,即可求解.【解析】(1)因为且所以, 当且仅当时,等号成立,所以 (2)因为, 所以,当且仅当时,等号成立, 所以.【点睛】本题主要考查了不等式的证明,其中解答中合理利用基本不等式和“1”的代换进行证明是解答的关键,着重考查推理与论证能力,属于基础题.15(山东省枣庄三中2019-2020学年高一10月学情调查数学试题)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50x100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.【答案】(1) yx,x50,100 (或yx,x50,100).(2) 当x18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.【分析】(1)先确定所用时间,再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式,(2)利用基本不等式求最值即得结果.【解析】(1)设所用时间为t (h),y214,x50,100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是yx,x50,100(或yx,x50,100).(2)yx26,当且仅当x,即x18时等号成立.故当x18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.16(山东省枣庄三中2019-2020学年高一10月学情调查数学试题)已知函数.(1)若关于的不等式的解集为,求和的值;(2)若对,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)依题意,为方程的两解,利用韦
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