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- 1 -北京市丰台区 2012 年高三二模 2012.5数学(文科)第一部分 (选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1复数 的虚部是i2(A)1 (B) 35(C) i(D) 3i52设 , 是向量,命题“ 若 ,则 ”的否命题是abab(A)若 ,则(B) 若 ,则ab(C)若 ,则(D) 若 ,则3 设等比数列 的前 n 项和为 ,若 , ,则 的值为nanS25144S(A) 152(B) 516(C) 6(D) 524如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M ,N,P,Q 分别是AA1, A1D1,CC 1,BC 的中点,给出以下四个结论:A 1CMN; A1C平面 MNPQ;A 1C 与 PM 相交;NC 与 PM 异面其中不正确的结论是(A) (B) (C) (D) 5函数 ()sin()fxxR(A) 是偶函数,且在 上是减函数,+(B) 是偶函数,且在 上是增函数(,+)(C) 是奇函数,且在 上是减函数()(D) 是奇函数,且在 上是增函数6在ABC 中,BAC =90,D 是 BC 的中点,AB=4,AC =3,则 =ADBC(A) -7 (B) 72(C) 72(D) 77 已知函数 的图象如图所示,则函数 的图象可能是sin(0)yaxblog()ayxb QPNMD1 C1A1 B1DCAB- 2 -(A) (B)(C) (D)8已知平面上四个点 , , , 设 是四边形1(0,)A2(3,)3(24,)A4(,0)D及其内部的点构成的集合,点 是四边形对角线的交点,若集合1234A0P,则集合 S 所表示的平面区域的面积为0|,4iSPD(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2- 3 -开始结束, ,0S1n3a2a1n输出 S是否6n第二部分 (非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9已知集合 A =x2 x-x20 ,B =xx1 ,则 _ AB10某地区恩格尔系数 与年份 的统计数据如下表:(%)y年份 x 2004 2005 2006 2007恩格尔系数 y(%) 47 45.5 43.5 41从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且可得回归方程为,则 =_,据此模型可预测 2012 年该地区405.2ybb的恩格尔系数(%)为_ 11已知 ,则 的值为_ cosincos212 执行如右图所示的程序框图,则输出的结果是_ 13 已知双曲线 上一点 M 到两个焦点的距离分别218xym为 20 和 4,则该双曲线的离心率为_ 14在平面直角坐标系中,若点 , 同时满足:点 , 都在函数 图象上;ABAB()yfx点 , 关于原点对称,则称点对( , )是函数 的一个“姐妹点对” (规定点AB()yfx对( , )与点对( , )是同一个“姐妹点对” ) 那么函数 的24,0,xf“姐妹点对”的个数为_三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15.(本小题共 13 分)已知函数 1()cos(3sin)2fxx()求 的值;6()求函数 在区间 上的最小值,并求使 取得最小值时的 x()yfx0,()yfx的值- 4 -QPBACD16.(本小题共 13 分)某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种,在该地区选择了 5 块土地,每块土地平均分成面积相等的两部分,分别种植甲、乙两个品种的棉花,收获时测得棉花的亩产量如下图所示: ()请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由;()求从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地,这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率17.(本小题共 14 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,Q 是棱 A上的动点()若 Q 是 PA 的中点,求证: PC/平面BDQ; ()若 PB=PD,求证:BD CQ;()在()的条件下,若 PA=PC,PB=3,ABC= 60,求四棱锥 P-ABCD 的体积18.(本小题共 13 分)已知等差数列a n的公差 ,该数列的前 n 项和为 ,且满足 0dnS235a()求数列a n的通项公式;()设 , ,求数列b n的通项公式1b*12()nabN19.(本小题共 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的中心在原点,焦点 , 在 轴上,焦距为C1F2x, 是椭圆上一动点, 的面积最大值为 2P12PF()求椭圆的标准方程;()过点 的直线 交椭圆 于 两点,交 轴于点 ,若 ,(,0)Ml,AByN1AM01438725 519乙乙- 5 -,求证: 为定值2NBM1220.(本小题共 13 分)已知函数 f(x)=lnx, ,两函数图象的交点在 x 轴上,且在该点处切线相()bgax同()求 a,b 的值;()求证:当 x1 时,f(x )S乙甲所以乙种棉花的平均亩产量更稳定 8 分()从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地的所有选法有 (95,102),(95,105) ,(95,107) ,(95,111) ,(102,105),(102,107),(102 ,111),(105, 107),(105,111) ,(107,111) 共 10 种,设“亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量 ”为事件 A, 包括的基本事件为(105,107),(105,111) ,(107,111)共 3 种 - 7 -OQPBACD所以 3()=10PA13 分答:两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率为 31017 证明:( )连结 AC,交 BD 于 O因为 底面 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC 中点 因为 Q 是 PA 的中点,所以 OQ/ PC, 因为 OQ 平面 BDQ,PC 平面 BDQ,所以 PC/平面 BDQ 5 分()因为 底面 ABCD 为菱形,所以 ACBD , O 为 BD 中点因为 PB=PD,所以 POBD 因为 POBD =O, 所以 BD 平面 PAC因为 CQ 平面 PAC,所以 BDCQ 10 分()因为 PA=PC,所以 PAC 为等腰三角形 因为 O 为 AC 中点,所以 POAC由()知 POBD,且 ACBD =O,所以 PO平面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高 因为四边形是边长为 2 的菱形,且 ABC=60,所以 BO= ,3所以 PO= 6所以 ,即 12623PABCDV2PABCDV14 分18 解:( )因为 352Sa所以 ,即 112()4da123ad因为 , , 250所以 2- 8 -所以 12ad所以 n6 分()因为 ,*12()nanbN所以 ,12,23a 1nanb相加得 112na= = 13232n (4)13 分即 213nb19 解:( )设椭圆的标准方程为 21xyab因为焦距为 ,所以 c= 2当点 P 在短轴的顶点时, P 到 F1F2 的距离最大,所以此时PF 1F2 的面积最大,所以 , 所以 ScbA b因为 , 所以 ,224a24a椭圆方程为 1xy5 分()依题意,直线 的斜率存在,可设为 ,则直线 : lkl(1)ykx设 , , 1(,)Axy2(,)B联立 消 y 得 240()k 22(1)40kxk- 9 -显然 ,且 , 021241kx241kx因为直线 交 轴于点 ,所以 lyN(0,)所以 , ,且1(,)AMx1Axky1NAM所以 ,同理 12所以 . 12121212()83xxx即 为定值是 . 128314 分20 解:( )因为 与 的图象在 轴上有公共点 (1,0),()fxgx所以 ,即 100ab又因为 , ,()fx 2()x由题意 ,1g所以 , 2ab4 分()设 ,1()()ln()2Fxfgxx则 210 所以 在 时单调递减()x由 可得当 时, 即 10F1x()0Fx()fgx9 分()由()得, 1()ln2x()令 ,则kx1111ln()()()222kkk,- 10 -所以 , 1ln()l()2kk1,23.kn将上述 n 个不等式依次相加得 ,1ln(.)2()n所以 1.l(1)l()232()n13 分(若用其他方法解题,请酌情给分)
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