法国有两个大数学家，一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。 帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。 他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得 全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚 了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 法国有两个大数学家，一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。 帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。 他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得 全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚 了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 概率的起源与博弈问题有关概率的起源与博弈问题有关 -合理分配赌注问题合理分配赌注问题 是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？ 或者因为最早说的是满5局,而谁也没达到，所以就一人分一半呢 是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？ 或者因为最早说的是满5局,而谁也没达到，所以就一人分一半呢？ 这两种分法都不对。 正确的答案是： 赢了 这两种分法都不对。 正确的答案是： 赢了4局的拿这个钱的局的拿这个钱的34,赢了赢了3局的拿这个钱的局的拿这个钱的14。 为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。 若是 A赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即 A、 B各赢4局，这个钱应该对半分。 现在， A赢、输的可能性都是12,所以， 他拿的钱应该是121121234,当然， B就应该 得14。 通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念 为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。 若是 A赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即 A、 B各赢4局，这个钱应该对半分。 现在， A赢、输的可能性都是12,所以， 他拿的钱应该是121121234,当然， B就应该 得14。 通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念 数学期望。 在上述问题中，数学期望是一个平均值， 就是对将来不确定的钱今天应该怎么算， 这就要用 A赢输的概率12去乘上他可能得到的钱，再把它们 加起来。 概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学 科。 数学期望。 在上述问题中，数学期望是一个平均值， 就是对将来不确定的钱今天应该怎么算， 这就要用 A赢输的概率12去乘上他可能得到的钱，再把它们 加起来。 概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学 科。 例例1 某车间有某车间有100台机器，它们独立地工作着，开工 率为 台机器，它们独立地工作着，开工 率为70%，开工时耗电各为，开工时耗电各为1千瓦，问至少要供给这 个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。 用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给 千瓦，问至少要供给这 个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。 用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给 84.3千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但按 一天工作 千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但按 一天工作8小时算，只有不超过小时算，只有不超过半分钟半分钟时间会出现这 种情况。 时间会出现这 种情况。 退 出目 录前一页后一页 例例2 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为A， B，C，其中只有一扇门后有大奖。 请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大 奖。 ，其中只有一扇门后有大奖。 请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大 奖。 ABC 若你选择了若你选择了A，在门，在门A被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是 被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是B，发现门后什么都 没有。 问你是否改变决定（从 ，发现门后什么都 没有。 问你是否改变决定（从A门到门到C门）？门）？ (答案：选答案：选A有大奖的概率为有大奖的概率为1/3，选，选C有大奖的概率为有大奖的概率为2/3) 退 出目 录前一页后一页 概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 在生活当中，经常会接触到一些在生活当中，经常会接触到一些现象现象： 确定性现象：确定性现象： 在大量重复实验中其结果又具有在大量重复实验中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象。的现象。 随机现象：随机现象： 在一定条件下必然发生的现象。 在个别实验中其结果呈现出 在一定条件下必然发生的现象。 在个别实验中其结果呈现出不确定性不确定性； 概率论与数理统计概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 退 出目 录前一页后一页 一、基本概念一、基本概念 ：基本事件、样本点 基本事件、样本点)(1果试验的每一个可能的结 果试验的每一个可能的结 记为记为 ：、样本空间、样本空间2所有样本点组成的集合所有样本点组成的集合 记为记为 E1：投一枚硬币：投一枚硬币3次，观察正面出现的次数次，观察正面出现的次数 ,3210 1 1.1随机事件和样本空间1.1随机事件和样本空间 :样本空间为样本空间为 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , 0 2 n : 2 E观察总机每天观察总机每天9:0010:00接到的电话次数 无限样本空间 接到的电话次数 无限样本空间 正面朝上用正表示抛一次硬币 正面朝上用正表示抛一次硬币,: 3 E , 3 反正反正 次进行观察将一枚硬币抛次进行观察将一枚硬币抛 2: 4 E ),(),(),(),( 4 反反正反反正正正反反正反反正正正 表示中 表示未中以连续射击直到命中为止 表示中 表示未中以连续射击直到命中为止 1 ,0,: 5 E ,001,01, 1 5 从中任取两件件次品件产品中有从中任取两件件次品件产品中有,25: 6 E 表示三件正品表示两件次品，以表示三件正品表示两件次品，以 32121 ,bbbaa ),(),(),(),(),( ),(),(),(),(),( 3231213222 12312111216 bbbbbbbaba babababaaa ， ， 数为样本空间中样本点的个 数为样本空间中样本点的个10 2 5 C : 7 次从中不放回地接连取两上题改为次从中不放回地接连取两上题改为E 数为样本空间中样本点的个 数为样本空间中样本点的个20 2 5 P 3、随机事件(事件):样本空间的子集,记为A,B,C3、随机事件(事件):样本空间的子集,记为A,B,C 它是满足某些条件的样本点所组成的集合它是满足某些条件的样本点所组成的集合 :样本空间为样本空间为 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 事件事件 B=“掷出奇数点掷出奇数点” 事件事件 A=“掷出掷出1点点” 1,3,5 .5,6 1 . 事件事件 C“出现的点数大于4出现的点数大于4” 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 4、必然事件:全体样本点组成的事件,记为 每次试验必定发生的事件 6、事件发生:属于该集合的某一个样本点在试验 中出现 5、不可能事件:不包含任何样本点的事件,记为 每次试验必定不发生的事件 4、必然事件:全体样本点组成的事件,记为 每次试验必定发生的事件 6、事件发生:属于该集合的某一个样本点在试验 中出现 5、不可能事件:不包含任何样本点的事件,记为 每次试验必定不发生的事件 事件事件 B=“掷出奇数点掷出奇数点” 算二、事件间的关系及运 算二、事件间的关系及运 A 包含于包含于BBA 事件事件 A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生 A B 1. 事件的包含 2. 事件的相等 1. 事件的包含 2. 事件的相等 ABBABA 且且 BA A B 3. 事件的并(和)3. 事件的并(和) 至少有一个发生与事件至少有一个发生与事件BA BA BA B A .事件的交(积).事件的交(积) 都发生与事件都发生与事件BA 的并事件与的并事件与 BA 发生发生BA 的交事件与的交事件与 BA 发生发生BA BA )(AB或或 BA B A .事件的差.事件的差 BA 的差事件与的差事件与 BA 发生发生BA 不发生发生而事件不发生发生而事件BA A B .互不相容事件.互不相容事件 A 与与B 互斥互斥 AB 不能同时发生与不能同时发生与 BA A 与与B 互相对立互相对立 BAAB, 每次试验每次试验 A、B中有 且只有一个发生 中有 且只有一个发生 A B AB 称称B 为为A的对立事件的对立事件(or逆事件逆事件)， 记为 ， 记为 注意：注意：“A与与B 互相对立互相对立”与与 “A与与B互斥互斥”是不同的概念是不同的概念 7. 对立事件7. 对立事件 A 8. 完备事件组8. 完备事件组 n i i A 1 n AAA, 21 若两两互斥，且若两两互斥，且 n AAA, 21 则称为则称为完备事件组完备事件组 1 A n A 1n A 2 A 3 A n AAA, 21 或称为的一个或称为的一个划分划分 事件运算的性质事件运算的性质. 9 ABBAABBA交换律：交换律： )()( )()( CBACBA CBACBA 结合律： 结合律： )()( )( CBCACBA BCACCBA 分配律： 分配律： BAAB BABA 对偶律： 对偶律： 下列事件 用字母和运算符号表示是三个事件例 下列事件 用字母和运算符号表示是三个事件例,C,B,A1 发生只有 发生只有A)1(不发生都发生且不发生都发生且 CBA,)2( 三个事件同时发生三个事件同时发生)3( 三个事件恰有一个发生三个事件恰有一个发生)4( 三个事件恰好发生两个三个事件恰好发生两个)5( 个三个事件中至少发生两个三个事件中至少发生两)6( 发生三个事件中不多于两个发生三个事件中不多于两个)7( BA ,S,RB,i A, i i 表示事件请用 之间为通路表示个开关闭合第 表示表示开关，如图，设例 表示事件请用 之间为通路表示个开关闭合第 表示表示开关，如图，设例43212 那么要问那么要问: 如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题下面几节就来回答这个问题. 研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是 研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是 事事 率率 件件 概概 的的