1,1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况,School of Business ECUST,3.3 单纯形法 3.3.1 单纯形法的一般思路+例子 3.3.2 单纯形表结构+例子 3.3.3 单纯形法的计算步骤 3.3.4 单纯形法的矩阵描述 3.4 大M法 3.5 两阶段法 4 几种特殊情况 4.1 无可行解 4.2 无界解 4.3 多重最优解 4.4 进基变量的相持 4.5 出基变量的相持,School of Business ECUST,3.4 大M法一般问题的初始基本可行解,School of Business ECUST,标准化,School of Business ECUST,添加人工变量,School of Business ECUST,添加人工变量,School of Business ECUST,School of Business ECUST,解：首先将原LP问题转化为标准型，引入非负变量x3，x4，x5,例：考虑下面的LP问题,School of Business ECUST,系数矩阵：,初始可行基？,大M法：构造一个单位矩阵来作初始可行基,如何构造？,通过添加人工变量,School of Business ECUST,添加人工变量x6, x7,School of Business ECUST,添加人工变量之后，系数矩阵变为：,单位矩阵， 可作初始可行基,变量x6, x7是为了构造单位阵，而人为增加的，要保证最优解 满足原约束，在问题的最优解中，这两个变量必须取0值。 为了达到这种效果，我们将目标函数改写为：,其中，M为充分大的正数,显然，为了保证 Z取最大值，x6, x7 必然取0,School of Business ECUST,为什么可以这样转化？,= 0,= 0,原问题的最优解,School of Business ECUST,-,0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2,3/2,X2,2,1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2,1/2,X1,-1,-,-1 1 0 -1 0 0 1,1,X2,2,1/2,2 0 -1 1 0 1 -1,1,X6,-M,1/1,-1 1 0 -1 0 0 1,1,X7,-M,2/1,1 1 -1 0 0 1 0,2,X6,-M,0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M,j,0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2,3/2,X5,0,1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M,j,2/1,1 0 0 1 1 0 -1,2,X5,0,-1 2+2M -M -M 0 0 0,j,3/1,0 1 0 0 1 0 0,3,X5,0,X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,b,XB,CB,-1 2 0 0 0 -M -M,C,School of Business ECUST,0 1 0 0 1 0 0,3,X2,2,1 0 0 1 1 0 -1,2,X4,0,1 1 -1 0 0 1 0,2,X2,2,2 0 -1 1 0 1 -1,1,X4,0,-,0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2,3/2,X2,2,1/2/1/2,1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2,1/2,X1,-1,-1 0 0 0 -2 -M -M,j,-1 0 1 0 1 -1 0,1,X3,0,-3 0 2 0 0 -2-M -M,j,-1 0 1 0 1 -1 0,1,X5,0,0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M,j,3/2 /1/2,0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2,3/2,X5,0,X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,b,XB,CB,-1 2 0 0 0 -M -M,C,最优解 最优值,School of Business ECUST,大M法的基本步骤,通过加入人工变量，构造初始可行基； 在目标函数中赋予人工变量很大的罚系数M，建立辅助线性规划问题； 利用单纯形法，求解上述辅助线性规划问题，若： 有最优解：如果最优解的基变量中不含有非零人工变量，则最优解中剔除掉人工变量部分，构成原问题的最优解；如果最优解的基变量中仍含有非零人工变量，则原问题无可行解； 无界解：如果最终单纯形表中基变量不含有非零人工变量，则原问题为无界解；否则，如果最终单纯形表中基变量含有非零人工变量，则原问题为无可行解。,School of Business ECUST,School of Business ECUST,例：求解下列线性规划问题,引入人工变量， 并利用大M法求解,解： 首先将问题化为标准型,School of Business ECUST,C,-3 -2 -1 0 0 0 -M -M,CB,XB,b,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8,0 -M -M,x4 x7 x8,6 4 3,1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,6/1 - 3/1,Z,-3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0,0 -M -2,x4 x7 x2,3 4 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,3/1 4/1 -,Z,Z,-3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M,-3 -M -2,x1 x7 x2,3 1 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 0 0 -3 -1 -1 -1 1 1 0 1 -1 0 0 -1 0 1,0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1,在以上最优单纯形表中，所有非基变量检验数都小于零，但在该表中人工变量x7=1为基变量，所以原线性规划不存在可行解。,School of Business ECUST,例 求解下列线性规划问题：,变标准型,添加人工变量 利用大M法,School of Business ECUST,C,x1 x2 x3 x4 x5 x6,1 -1 0 0 -M -M,0.5 1 -1 0 1 0 4,1 1 0 -1 0 1 3,XB,x5 x6,CB,-M -M,1+1.5M 2M-1 -M -M 0 0,b,4/1 3/1,-0.5 0 -1 1 1 -1 1,1 1 0 -1 0 1 3,x5 x2,-M -1,1/1 -,2-0.5M 0 -M -1+M 0 1-2M,-0.5 0 -1 1 1 -1 1,0.5 1 -1 0 1 0 4,x4 x2,0 -1,- 4/0.5,1.5 0 -1 0 1-M -M,School of Business ECUST,-0.5 0 -1 1 1 -1,0.5 1 -1 0 1 0,x4 x2,0 -1,1 4,- 4/0.5,1.5 0 -1 0 1-M -M,C,x1 x2 x3 x4 x5 x6,1 -1 0 0 -M -M,XB,CB,b,0 1 -2 1 2 -1 5,1 2 -2 0 2 0 8,x4 x1,0 1,0 -3 2 0 -M-2 -M,非基变量x3对应的检验数0, 并且该非基变量对应的系数列向量的全部系数=0,辅助线性规划问题 无界解,原问题 无界解,School of Business ECUST,3.5 两阶段法,大M法实际上是利用单纯形法直接求解原问题的辅助线性规划问题，然后再根据最终能否将人工变量全部赶出基变量，来判断原问题和辅助线性规划问题之间解的对应关系。 两阶段法则将原线性规划问题的求解分为两个阶段： 第一阶段，寻找原问题的初始基可行解或判断原问题无可行解； 第二阶段，寻找原问题最优解或判断原问题无界。,School of Business ECUST,第一阶段，寻找原问题的初始基可行解或判断原问题无可行解； 在原线性规划问题中引入人工变量后，构造一个新的线性规划问题(辅助问题)，其中系数矩阵中包含单位阵，目标函数是极小化人工变量之和(为了使人工变量取0值)； 用单纯形方法求解辅助问题，若求得的基可行解可使目标函数达到最小值0(人工变量均取0)，则我们就找到了原问题的初始基可行解； 若辅助问题的目标函数不能达到最小值0，则原问题无可行解，求解过程结束。,School of Business ECUST,第二阶段，寻找原问题的最优解或或判断原问题无界。 在第一阶段得到的最终单纯形表基础上，划去人工变量所在的列，引入原问题的目标函数，对原问题进行求解。,School of Business ECUST,例：用两阶段法求解线性规划问题。 解：首先将问题化为标准型 添加人工变量x6,x7,构造辅助线性规划如下：,School of Business ECUST,0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2,3/2,X2,0,1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2,1/2,X1,0,-,-1 1 0 -1 0 0 1,1,X2,0,1/2,2 0 -1 1 0 1 -1,1,X6,-1,1/1,-1 1 0 -1 0 0 1,1,X7,-1,2/1,1 1 -1 0 0 1 0,2,X6,-1,0 0 0 0 0 -1 -1,0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2,3/2,X5,0,2 0 -1 1 0 0 -2,2/1,1 0 0 1 1 0 -1,2,X5,0,0 2 -1 -1 0 0 0,3/1,0 1 0 0 1 0 0,3,X5,0,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,b,XB,CB,0 0 0 0 0 -1 -1,C,辅助问题的最优解：,School of Business ECUST,于是我们找到了原问题的一个基可行解,由上表可知，通过若干次初等行变换，原问题的约束方程组已变换成包含一个单位矩阵的约束方程组 该约束方程组可作为第二阶段初始约束方程组，将目标函数则还原成原问题的目标函数，可继续利用单纯形表求解。,School of Business ECUST,-1 0 0 0 -2,1