15.2综合法和分析法读教材填要点1综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法2分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法小问题大思维1如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可2用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：AB1B2BnB(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立分析法：BB1B2BnA(步步寻求不等式成立的充分条件)，总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法用综合法证明不等式例1已知a，b，c均为正实数，且互不相等，又abc1.求证：.思路点拨本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向左端含有根号，脱去根号可通过0，b0，求证a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.用分析法证明不等式例2a，b均为正实数，且2cab.求证：cac.思路点拨本题考查分析法在证明不等式中的应用解答本题需要对原不等式变形为ac0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).证明：要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).分析法与综合法的综合应用例3已知a，b，c均为正实数，且b2ac.求证：a4b4c4(a2b2c2)2.思路点拨本题考查综合法与分析法的综合应用解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明精解详析欲证原不等式成立，只需证a4b4c4a4b4c42a2b22a2c22b2c2，即证a2b2b2c2a2c20，b2ac，故只需证(a2c2)aca2c20.a、c0，故只需证a2c2ac0，又a2c22ac，a2c2ac0显然成立原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系3已知abc，求证：0.证明：法一：要证明0，只需要证明.abc，acab0，bc0，0，成立0成立法二：若令abx，bcy，则acxy，abc，x0，y0，证明0，只要证明：0，也就是要证：0，即证：0，x0，y0，xy0，x2y2xy0，上式成立，即0，故0.对应学生用书P20 一、选择题1设a，b均为正实数，A，B，则A、B的大小关系是()AABBABCAB DAB解析：用综合法()2a2b，所以A2B20.又A0，B0，AB.答案：C2已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|解析：由已知得3xxyz0，3z0，zxz.答案：C3若a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.2 Ba2b22abC.ab D.2解析：由(0，)且(0，)，得2，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.答案：D4已知a、b、c为三角形的三边且Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2P BPSP DPS2P解析：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2.同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)即S0，y0，且5x7y20，则xy的最大值是_解析：xy(5x7y)22.当且仅当5x7y10即x2，y时取等号答案：7已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P、Q、R按从大到小的排列顺序为_解析：由已知P，Q，即R，显然PQ，又，QR.PQR.答案：PQR8若不等式0在条件abc时恒成立，则的取值范围是_解析：不等式可化为.abc，ab0，bc0，ac0，恒成立2224.证明：法一：由左式推证右式abc1，且a，b，c为互不相等的正数，bcacab(基本不等式).法二：由右式推证左式a，b，c为互不相等的正数，且abc1，.10已知ab0，求证：.证明：要证，只要证ab2，即证2()22，即证0，即证2，即证121，即证1b0，所以1，1，故1，1成立所以有成立11已知实数a、b、c满足cba，abc1，a2b2c21.求证：1ab.证明：abc1，欲证结论等价于11c，即c0.又a2b2c21，则有abc2c.由ab1c.由得a、b是方程x2(1c)xc2c0的两个不等实根，从而(1c)24(c2c)0，解得c1.cba，(ca)(cb)c2c(ab)abc2c(1c)c2c0，解得c0或c(舍)c0，即1ab.