. . 帮你归纳总结 (五） ：导数中的求参数取值围问题 一、常见基本题型： （1）已知函数单调性，求参数的取值围，如已知函数( )f x增区间，则在此区间上 导函数( )0fx，如已知函数( )f x减区间，则在此区间上导函数( )0fx。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值围问题，可转化为求函数的最值问题。 例 1.已知aR，函数 2 ( )()e x f xxax.（xR，e 为自然对数的底数） （1）若函数( )( 1,1)f x 在单调递减，求a 的取值围； （2）函数( )fx是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值围；若不是，请说明 理由 . 解：（1） 2- ( )()e x f xxax -2- ( )( 2)e()( e ) xx fxxaxax= 2- (2)e x xaxa. ( )f x要使在 -1,1上单调递减，则( )0fx对( 1,1)x都成立， 2 (2)0 xaxa对( 1,1)x都成立 . 令 2 ( )(2)g xxaxa，则 ( 1)0, (1)0. g g 1(2)0 1(2)0 aa aa , 3 2 a. （ 2）若函数( )fx在 R 上单调递减，则( )0fx对xR 都成立 即 2- (2)e0 x xaxa对xR 都成立 . 2 e0,(2)0 x xaxa对xR 都成立 令 2 ( )(2)g xxaxa， 图象开口向上不可能对 x R 都成立 若函数( )fx在 R 上单调递减，则( )0fx对xR 都成立， 即 2- (2)e0 x xaxa对xR 都成立， e0, x2 (2)0 xaxa对xR 都成立 . 22 (2)440aaa 故函数( )f x不可能在R 上单调递增 . 综上可知，函数( )f x不可能是R 上的单调函数 例 2：已知函数 ln3fxaxaxaR ,若函数 ( )yf x的图像在点(2,(2)f处的切 . . 线的倾斜角为45，对于任意1,2t，函数 32/ ( ) 2 m g xxxfx在区间( ,3)t上总不 是单调函数，求m 的取值围； 解： / (2)1,2 2 a fa由 32/2 ( )2ln23 ( )(2)2 ,( )3(4)2 2 f xxx m g xxxxgxxmx 令 / ( )0gx得， 2 (4)240m 故 / ( )0gx两个根一正一负，即有且只有一个正根 函数 32/ ( ) 2 m g xxxfx在区间( ,3)t上总不是单调函数 / ( )0gx在( ,3)t上有且只有实数根 / (0)20,( )0,(3)0gg tg 237 , (4)23 3 mmtt故 2 43mt t ， 而 2 3yt t 在t1,2单调减，9m，综合得 37 9 3 m 例 3.已知函数1 4 3 4 1 ln)( x xxxf （）求函数)(xf的单调区间； （）设42)( 2 bxxxg，若对任意)2,0( 1 x，2,1 2 x，不等式 )()( 21 xgxf恒成立，数b的取值围 解： （I）1 4 3 4 1 ln)( x xxxf的定义域是(0 ,) 2 2 2 4 34 4 3 4 11 )( x xx xx xf 由0 x及0)(xf得31x；由0 x及0)(xf得310 xx或， 故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3 (, ) 1,0( （II）若对任意)2,0( 1 x，2,1 2 x，不等式)()( 21 xgxf恒成立， 问题等价于 maxmin )()(xgxf， 由（ I）可知，在(0 , 2)上，1x是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点， . . 故也是最小值点，所以 min 1 ( )(1) 2 f xf； 2 ( )24 ,1, 2g xxbxx 当1b时， max ( )(1)25g xgb； 当12b时， 2 max ( )( )4g xg bb； 当2b时， max ( )(2)48g xgb； 问题等价于 1 1 25 2 b b 或 2 12 1 4 2 b b 或 2 1 48 2 b b 解得1b或 14 1 2 b 或 b 即 14 2 b，所以实数b的取值围是 14 , 2 。 例 4设函数 22 ( )ln, ( )f xxmx h xxxa, (1)当a0 时，f(x)h(x)在(1， )上恒成立，数m的取值围； (2)当m2 时， 若函数k(x)f(x)h(x)在1,3上恰有两个不同零点， 数a的取 值围 解： (1)由a0，f(x)h(x)， 可得mlnxx，x (1， )，即m x lnx . 记(x) x lnx，则 f(x)h(x)在(1， )上恒成立等价于m(x)min. 求得 (x) lnx1 ln 2x 当x(1，e)， (x)0； 当x(e， )时， (x)0. 故(x)在xe 处取得极小值，也是最小值， 即(x)min(e)e，故me. (2)函数k(x)f(x)h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x2lnxa， 在1,3上恰有两个相异实根 令g(x)x2ln，则g (x) 12 x. 当x1,2)时，g (x)0； . . 当x(2,3时，g (x)0. g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数 故g(x)ming(2)22ln2. 又g(1)1，g(3)32ln3， g(1)g(3)，只需g(2)ag(3) 故a的取值围是 (2ln2,32ln3. 二、针对性练习 1.已知函数 2 ( )ln.f xxax若函数( )( )2g xf xx在1，4上是减函数，数a 的取值 围。 解：由 x xaxxg 2 ln)( 2 ，得 2 2 2)( xx a xxg 又函数 x xaxxg 2 ln)( 2 为1，4上的单调减函数。 则0)(xg在1，4上恒成立， 所以不等式0 2 2 2 xx a x在1，4上恒成立 即 2 2 2 x x a在1，4上恒成立。 设 2 2 2 )(x x x，显然)(x在 1，4上为减函数， 所以)(x的最小值为. 2 63 )4( a的取值围是. 2 63 a 2.已知函数( )1 x f xex （ 1）若存在 4 1,ln 3 x，使10 x aex成立，求a的取值围； （2）当 0 x 时， 2 ( )f xtx恒成立，求 t 的取值围 . 解 :（1） 1, x aex 即 ( ).af x 令 ( )10,0. x fxex 0 x 时， ( )0,0fxx 时， ( ) 0.fx ( )f x 在 (,0) 上减，在 (0,) 上增 . . . 又 0 4 1,ln 3 x 时， ( )f x 的最大值在区间端点处取到. 1 1444 ( 1)1 1,ln,1ln 333 fef e ， 4144114 ( 1)ln1 lnln0, 33333 ff ee 4 ( 1)ln,( ) 3 fff x 在 4 1,ln 3 上最大值为 1 , e 故 a 的取值围是 1 a e， （3）由已知得 0 x 时， 2 10 x extx 恒成立， 设 2 ( )1. x g xextx ( )12 . x gxetx 由（ 2）知 1, x ex 当且仅当 0 x 时等号成立， 故 ( )2(12 )gxxtxt x ，从而当 120,t 即 1 2 t 时， ( ) 0(0),( )gxxg x 为增函数，又 (0)0,g 于是当 0 x 时， ( )0,g x 即 2 ( )f xtx ， 1 2 t 时符合题意 . 由 1(0) x ex x 可得 1(0), x ex x 从而当 1 2 t 时， ( )12 (1)(1)(2 ), xxxxx gxet eeeet 故当 (0,ln 2 )xt 时， ( )0,( )gxg x 为减函数，又 (0)0,g 于是当 (0,ln 2 )xt 时， ( )0,g x 即 2 ( ),f xtx 故 1 , 2 t 不符合题意 .综上可得 t 的取值围为 1 , 2 3.已知函数 ln(1x f (x) x ），设 3 h(x)xf (x)xax在（ 0，2）上有极值，求a 的取值围 . 解：由 3 h(x)x f (x)xax可得， . .