1 / 8 基本不等式专题 题型一基本不等式的判断 1下列不等式一定成立的是() Alg x2 1 4 lg x(x0) B sin x 1 sin x2(xk ，k Z) Cx212|x|(xR D. 1 x2 1 1(xR) 解析 ：当 x0 时， x2 1 42 x 1 2 x，所以 lg x 21 4 lg x(x 0)，故选项A 不正确；而当 xk ，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当 x0 时，有 1 x211，故选项 D 不正确 题型二利用基本不等式求最值 类型一直接法或配凑法利用基本不等式求最值 1设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为 解析： x0，y0， xy 2 xy，即 xy xy 2 281，当且仅当 xy9 时， (xy)max81. 2.若函数 f(x) x 1 x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于 解析： 当 x2 时， x20，f(x)(x2) 1 x 222 x 2 1 x224，当且仅当 x2 1 x2(x2)，即 x 3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3. 3.函数 f(x)x 24 |x| 的最小值为 解析： f(x) x24 |x| |x| 4 |x|2 4 4，当且仅当x2 时，等号成立 . 4若 a，b 都是正数，则1 b a 1 4a b 的最小值为 解析： a，b 都是正数，1b a 1 4a b 5 b a 4a b 5 2 b a 4a b 9，当且仅当b2a0 时取等号 5若实数a，b 满足 1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为 解析 ：依题意知a0，b 0，则 1 a 2 b2 2 ab 22 ab，当且仅当 1 a 2 b，即 b2a 时， “ ” 2 / 8 成立因为 1 a 2 b ab，所以ab 2 2 ab，即 ab2 2，所以 ab 的最小值为2 2. 6已知 a0，b0， ab 1 a 1 b ，则 1 a 2 b的最小值为 解析： 由 a0，b0，ab 1 a 1 b ab ab ，得 ab1， 则1 a 2 b2 1 a 2 b2 2.当且仅当 1 a 2 b，即 a 2 2 ，b2时等号成立 7已知 0x0，则函数yx 2 2x 1 3 2的最小值为 解析： yx 2 2x1 3 2 x 1 2 1 x 1 2 22x 1 2 1 x 1 2 20， 当且仅当x1 2 1 x 1 2 ， 即 x 1 2时等号成立所以函数的最小值为 0. 10函数 yx 22 x1 (x1)的最小值为 _. 解析： x1，x 10， y x22 x1 x22x1 2x2 3 x 1 x1 22 x1 3 x1 (x1) 3 x1 22 32. 当且仅当x1 3 x1 ，即 x31 时，等号成立. 11已知 x，y 都为正实数，且x y1 x 1 y 5，则 xy 的最大值是 解析： 因为 xy 1 x 1 yxy xy xy xy xy xy 2 2 xy 4 xy ，所以 xy 4 xy 5. 3 / 8 令 xyt.则 t25t40，解得 1t4. 类型二常数代换法利用基本不等式求最值 1.已知正数a，b 满足 ab1，则 4 a 1 b的最小值为 解析： 由题意知，正数a，b 满足 ab1， 则4 a 1 b 4 a 1 b (ab)41 4b a a b5 2 4b a a b9， 当且仅当 4b a a b，即 a 2 3，b 1 3时等号成立，所以 4 a 1 b的最小值为 9. 2已知 a0， b0， a2b 3，则 2 a 1 b的最小值为 _ 解析： 由 a2b3 得1 3a 2 3b1，所以 2 a 1 b 1 3a 2 3b 2 a 1 b 4 3 a 3b 4b 3a 4 32 a 3b 4b 3a 8 3.当且仅当 a2b3 2时取等号 3.若 a0， b0，lg alg blg(ab)，则 a b 的最小值为 解析： 由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg( ab)，即 abab，则有 1 a 1 b1， 所以 a b 1 a 1 b (ab)2 b a a b22 b a a b 4，当且仅当 ab 2 时等号成立，所以 ab 的最小值为4. 4.若正数 x，y 满足 3xy5xy，则 4x3y 的最小值是 解析： 由 3xy5xy，得 3xy xy 3 y 1 x5， 所以 4x3y(4x3y) 1 5 3 y 1 x 1 5 4 9 3y x 12x y 1 5(4 92 36)5， 当且仅当 3y x 12x y ，即 y2x 时， “”成立，故4x3y 的最小值为5. 5.设 x0，y0，若 xlg 2，lg2， ylg 2 成等差数列，则 1 x 9 y 的最小值为 解析： xlg 2，lg2，ylg 2 成等差数列， 2lg2(xy)lg 2，xy1. 1 x 9 y(xy) 1 x 9 y 10 2 y x 9x y 10616，当且仅当x 1 4，y 3 4时取等号 . 6已知实数m，n 满足 m n0，mn 1，则 1 m 1 n的最大值为 _ 解析 : m n0，mn 1，m0，n0 且 a1)的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 mn0，则 1 m 1 n的最小值为 解析： 令 x31，得 x 2，故 A( 2，1)又点 A 在直线 mxny10 上，2m n10，即 2mn1，则 1 m 1 n 1 m 1 n (2mn)3 n m 2m n 32 n m 2m n 322.当 且仅当 m 1 22 ，n 1 2 1 时等号成立，所以 1 m 1 n的最小值为 322. 8已知 x，y 均为正实数，且 1 x2 1 y2 1 6，则 xy的最小值为 解析： x，y 均为正实数，且 1 x2 1 y2 1 6， 则 xy(x2y2) 46 1 x2 1 y2 (x2y2)46 2 x2 y2 y 2 x 2 4 622 x2 y2 y2 x2420，当且仅当 xy10 时取等号 xy 的最小值为20. 9若 a，b，c 都是正数，且a bc2，则 4 a 1 1 bc的最小值是 解析 :a，b， c 都是正数，且abc 2，abc 13，且 a10，bc0. 4 a1 1 b c 1 3( a1bc) 4 a1 1 bc 1 3 5 4 bc a1 a1 bc 1 3(54)3. 当且仅当a1 2(bc)，即 a1，bc 1 时，等号成立 . 10已知函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图像在点 (1，f(1)处的切线的斜率为 2，则 8ab ab 的 最小值是 解析 : 由函数 f(x)ax2 bx，得 f(x)2axb，由函数 f(x)的图像在点 (1，f(1)处的切线斜 率为 2,所以 f(1)2a b2，所以 8a b ab 1 a 8 b 1 2 1 a 8 b (2ab)1 2 10 b a 16a b 1 2 102 b a 16a b 1 2(10 8)9，当且仅当 b a 16a b ，即 a 1 3，b 4 3时等号成立， 所以 8ab ab 的最小值为9. 5 / 8 11.已知 x0，y0，且 2x5y20. (1)求 ulg x lg y 的最大值； (2)求1 x 1 y的最小值 . 解析 : (1)x0， y0，由基本不等式，得2x5y 2 10 xy. 2x5y20，210 xy20，xy 10，当且仅当2x5y 时，等号成立 . 因此有 2x 5y20， 2x 5y， 解得 x5， y2， 此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg(xy)lg 101.当 x5，y2 时， u lg xlg y 有最大值1. (2)x0， y0， 1 x 1 y 1 x 1 y 2x5y 20 1 20 7 5y x 2x y 1 20 72 5y x 2x y 7210 20 ， 当且仅当 5y x 2x y 时，等号成立.由 2x5y 20， 5y x 2x y ， 解得 x 101020 3 ， y 20410 3 . 1 x 1 y 的最小值为 72 10 20 . 类型三通过消元法利用基本(均值 )不等式求最值 1正数 a，b 满足 abab 3，则 ab 的取值范围是 _ 解析 a，b 是正数， aba b32 ab3，解得ab3，即 ab9. 2.设 x，y 均为正数，且xyxy100，则 xy 的最小值是 _. 解析 :由 xy xy100，得 x y 10 y1 9 y 11， xy 9 y11y 2 9 y1 1y 6， 当且仅当 9 y1 1y，即 y2 时，等号成立 . 3已知 x0，y0，且 2x4yxy1，则 x2y 的最小值是 _ 解析： 令 t x2y，则 2x4yxy1 可化为 12x4yxy2(x2y) 1 2 x2y 2 2 2tt 2 8. 因为 x0，y0，所以 x2y0，即 t0， t216t80，解得 t 6 28.即 x 2y 的最小值 6 / 8 是 6 28. 类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围 1若对于任意x0， x x23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是 _ 解析 : x x23x1 1 3x 1 x ，因为 x0，所以 x 1 x2(当且仅当 x1 时取等号 )， 则 1 3x 1 x 1 32 1 5，即 x x23x1的最大值为 1 5，故 a 1 5. 2正数 a，b 满足 1 a 9 b1，若不等式 ab x24x 18m 对任意实数x 恒成立，则实 数 m 的取值范围是 _ 解析 :因为 a0，b 0，1 a 9 b 1，所以 ab(ab) 1 a 9 b 10 b a 9a b 102916，由 题意，得16 x24x18m，即 x2 4x2 m 对任意实数x 恒成立，而x 24x2 (x2)26，所以 x24x2 的最小值为6，所以 6m，即 m 6. 3已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 解析 :已知不等式 (xy) 1 x a y 9 对任意正实数x，y 恒成立，只要求(xy) 1 x a y 的最小值 大于或等于9，1a y x ax y a2a1，当且仅当yax 时，等号成立， a2a19，a2 或a4(舍去 )，a4，即正实数a 的最小值为4. 4已知函数y x m x2(x2)的最小值为 6，则正数 m 的值为 _ 解析 : x2， m0， y x2 m x 222 x 2 m x 222 m2， 当且仅当 x2m 时取等号，又函数yx m x2(x2)的最小值为 6，2m26，解得 m4. 题型二基本不等式的综合问题 类型一基本不等式的实际应用问题 1某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比， 仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费 之和最小，最小为_万元 7 / 8 解析 :设工厂和仓库之间的距离为x千米， 运费为 y1万元， 仓储费为 y2万元， 则 y1k1x(k1 0)， y2 k2 x (k2 0)，工厂和仓库之间的距离为4 千米时，运费为20 万元，仓储费用为5 万元， k15，k220，运费与仓储费之和为5x20 x 万元，5x 20 x 25x 20 x 20，当且仅 当 5x 20 x ，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为20 万元 2.若把总长