1 / 12 不等式的性质及一元二次不等式专题 一、相关知识点 1比较两个实数大小的方法 (1)作差法 ab0? ab a，bR ， ab0? a b a，bR ， ab0? a1? ab a R，b0 ， a b1? ab a R，b0 ， a b1? a0 . 2不等式的基本性质 性质性质内容特别提醒 对称性ab? bb，bc? ac? 可加性ab? acbc? 可乘性 ab c0 ? acbc 注意 c 的符号 ab c0 ? acb cd ? acbd? 同向同正可乘性 ab0 cd0 ? acbd0 ? 可乘方性ab0? anbn(nN，n 1) 可开方性 ab0? n a n b(n N， n2) a，b 同为正数 3一元二次不等式 2 / 12 （1）三个 “ 二次 ”之间的关系 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数yax2bx c(a0)的图象 一元二次方程ax2 bx c0(a0)的根 有两个相异实根x1， x2(x1x2) 有两个相等实根x1 x2 b 2a 没有实数根 一元二次不等式ax2 bxc0(a0)的 解集 x|xx2x x b 2a R 一元二次不等式ax2 bxc0(a0)的 解集 x|x1xx2? （2）不等式ax2 bxc0 (0 对任意实数 x 恒成立 ? ab 0， c0 或 a0， 0. (2)不等式 ax2bxc0 对任意实数x 恒成立 ? ab 0， c0 或 a0， b，ab0? 1 a 1 b； a0b? 1 ab0,0c b d；0axb 或 axb0? 1 b 1 x NBMN CMnCmnDmb? acbc； ab? 1 ab0，cd0? a d b c； ab1， c0? acb0，则下列不等式中一定成立的是() Aa 1 bb 1 a B b a b1 a1 Ca 1 bb 1 a D2ab a2b a b 4 / 12 3已知 ab0，cbcBacbc Cloga(ac)logb(b c) D a ac b bc 4若 1 a 1 b0，则下列不等式： ab|b|； ab； ab0 的解集是 4不等式 |x(x2)|x(x 2)的解集是 _ 5不等式 2 x10 的解集为 8不等式 1 x1 1 的解集是 _ 9 |x| (12x)0 的解集为 10不等式 4 x2x2 的解集是 11不等式 x2 x23x20 的解集是 _ 12已知函数f(x) x22x，x 0， 2xx2，xf(a)，则实数a 的取值范围是 类型二含参数的一元二次不等式 1设 a1，则关于x 的不等式a(x a) x 1 a 0 的解集是 1 2， 1 3 ，则 ab 的值是 _ 3如果关于x 的不等式x2axb 的解集是 x|1x3 ，那么 ba等于 4已知不等式ax2bx1 0 的解集是 1 2， 1 3 ，则不等式x 2bxaa2. 9已知函数f(x) ax2bxa2. (1)若关于 x 的不等式f(x)0 的解集是 (1,3)，求实数a， b 的值； (2)若 b2， a0，解关于x 的不等式f(x)0. 9 / 12 类型三一元二次不等式与根的分布情况 1如果方程x2(m1)xm220 的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是 2设 aR，关于 x 的一元二次方程7x2(a13)xa2a 20 有两实根x1，x2， 且 0 x1 1 x2 0 在区间 1,5上有解，则a 的取值范围是 () A 23 5 ，B 23 5 ， 1C(1， )D ， 23 5 题型四由一元二次不等式恒成立求参数范围 类型一在实数集 R 上恒成立：形如f(x)0(xR)求参数的范围 1已知关于x 的不等式x2(k1)xk10 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围 是 2不等式x2ax40 的解集不是空集，则实数a的取值范围是_ 11 / 12 3对于任意实数x，不等式 (a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数a 的取值范围是 类型二在某区间上恒成立：形如f(x) 0(xa，b)求参数的范围 1若存在实数x2,4，使 x22x5m0 成立，则m 的取值范围为 2已知关于x 的不等式x2 4xm 对任意的x(0,1恒成立，则有 3 若不等式x2mx10，|a|1 恒成立，则 x 的取值范围是_ 3 若不等式x2 (2m)x m10 对任意 m1,1恒成立，则 x 的取值范围是_