1 专题：函数恒成立问题 “ 武功越高，魔孽越深。这是需要佛法来化解” ！ 天龙八部中藏经阁扫地僧 （目标：进一步理解恒成立问题，并且能够更快更准的选择合理的方法） ： 6 min. 教师： 放眼当下，我们已经掌握了恒成立问题的解决方法，但离“登峰造极”、“手到擒来”还略差一等， 下面就让我们一起停下来，修炼一下内功吧！首先我们一起来回忆一下恒成立问题的几种形式。 （思维导图形式，教师课堂上自画。） 【本题对五星级的学生而言，稍显简单，建议由学生独立思考完成，教师主要以点评为主，及时表扬。】 （）已知 )1() 1 1 ()( 2 x x x xf （1）求)( 1 xf ； （2）判断)( 1 xf 的单调性； （3）若 )()()1 ( 1 xaaxfx对 2 1 , 4 1 x恒成立，求 a的范围 . 解： （ 1） 1 1 x y x ,则 1 1, 1 y xyyxx y 所以得 1 1 ( )(0,1) 1 x fxx x （2）任给 12 ,(0,1)xx 121211 1212 1212 112() .()()0 11(1)(1) xxxx xxfxfx xxxx 且 所以 1 ( )fx 在(0,1)上单调增。 （3） 1 (1)() 1 x xa ax x ，则 2 1(),(1)1xa axaxa得 2 设xt，则 12 , 22 t ，设 2 ( )(1)1g ta ta.( )g t在 12 , 22 恒大于 0 则必有 2 2 11 ( )(1)10 22 22 ()(1)10 22 gaa gaa 解得 3 1 2 2 11 2 a a 所以 3 ( 1, ) 2 a 点评： 本题综合了求反函数，函数的单调性和不等式的恒成立问题，虽有一定综合性，但难度一般； 求反函数时不要漏写定义域； 判断函数的单调性可以利用定义证明，也可以采用常见函数的单调性证明； （ 3）中不等式的恒成立问题经过换元之后，转化为一次函数类型的恒成立问题即可。 典例精讲 31 min. 例 1 （ ） 已知函数 x x xf 2 1 2)( （1）若2)(xf，求x的值； （2）若0)()2(2tmftf t 对于2, 1t恒成立，求实数m的取值范围。 批注： 本题是 2008 年高考理科卷第19 题，容易判断第（2）问属于恒成立问题，又变量在一定的区间上， 故选用分离参数的方法，转化为求最值问题；计算稍复杂。 解： （ 1）0 x时，( )0f x；当0 x时， 1 ( )2 2 x x f x， 由条件可知 1 22 2 x x ，即 2 (2 )2 210 xx 则212 x ，因为0 x，所以， 2 log (12)x。 （2）当1,2t时， 2 2 11 2 (2)(2)0 22 ttt tt m 即 24 (21)(21) tt m，因 2 210 t ，所以 2 (21) t m 令 2 ( )(21) t g t.因1,2t，所以( )17,5g t， 故m的取值范围是 5, 。 3 例 2（ ） 已知函数), 0()( 2 Rax x a xxf常数 ， 若函数)(xf在 , 2x 上为增函数， 求a的取值范围。 批注： 本题是 2007 年高考理科卷第19 题第（ 2）问 教师： 什么是增函数？ 学生： 对任意 12,x xD，假设12xx，若12()()f xfx，则称函数( )f x在D上单调递增。 教师： 由增函数的定义，不难发现“任意”两字，本题便自然转化为了恒成立问题；但是针对不同的情形， 恒成立问题有不同的解决方法；本题我们选择什么方法呢？一次函数类型？二次函数类型？还是分离参数 法？ 学生： 分离参数法，因为变量的范围是一定的区间； 教师： Perfect!( 及时给予肯定，引导学生自己动手) 解：设 2212 1212121212 1212 () ,()()() xxaa axxf xf xxxx xxxa xxx x 要使函数( )f x在2,x上为增函数，必须 12 ()()0fxfx恒成立 因 1212 0,4xxx x ，即1212 ()ax xxx 恒成立， 又因 12 4xx ，所以 1212 ()16x xxx ，所以a的取值范围是 ,16 难点突破： 在单调性的定义中， 12 ,xx 之间的距离是非常非常小的，几乎接近， 因此在 1212 ()ax xxx中，我们几乎可以把 12 ,xx看成同一个变量，但是取不到边界值。 令 3 ()2,2yxx xxxx，则16y。 同样可得，a的取值范围是,16。 例 3 （ ）已知定义在区间0,2上的两个函数( )f x和( )g x，其中 2 ( )24f xxax（1a） ， 2 ( ) 1 x g x x （1）求函数( )yf x的最小值( )m a； （2）若对任意 1 x、 2 0,2x， 21 ()()f xg x恒成立，求a的取值范围 教师： 说“ A 班的任意一个同学比B 班的任意一个同学都高”，这句话在数学中怎样理解？ 学生： A 班最矮的同学比B 班最高的同学都高！ 教师： 很好！那么，对任意 12 ,xAxB，都有 21 ()()f xg x恒成立，可以等价转化成什么呢？ 学生：( )f x的最小值大于( )g x的最大值吧。 教师： 对！ 4 解： （ 1）由 222 ( )24()4f xxaxxaa，得 2 412, ( ) 842. aa m a aa （2） 1 ( )(1)2 1 g xx x ，当0,2x时，11,3x， 又( )g x在区间0,2上单调递增（证明略） ，故 4 ( )0, 3 g x 由题设得 2min1 max ()()f xg x，故 2 12, 4 4 3 a a 或 2, 4 84, 3 a a 解得 2 6 1 3 a为所求的范围 例 4 （ ）(选) 对于满足40p的实数p，求使34 2 pxpxx恒成立的x的取值范围。 突破口： 已知哪个的范围，哪个就是变量。由40p，故本题中p是变量 解： 原不等式为 2 (4)30,04xpxpp 整理得， 2 (1)430,04xpxxp 令 2 ( )(1)43,04yf xxpxxp，转化为一次函数类型的恒成立问题， 则有 (0)0(,1)(3,) (, 1)(3,) (4)0(, 1)(1,) fx x fx U U U 。 因此，要 2 43xpxxp在04p上恒成立，(, 1)(3,)xU 巩固练习： 1（ ） (2011. 十三校联考. 23) 已知函数 22 ( )(1 )(1)(0) xb f xx ax ，其中 0ab. 若( )21 m f a对任意0ab恒成立，求实数m的取值范围； 解： 2 ( )=(1) b f a a ，0ab，1 b a ， 2 ( )21(1)12 mm b f a a 对任意0ab恒成立， 令 b t a ，则1t，函数 2 (1)1yt在(1 )，上单调递增， 2 (1)11yt， 1 2m，解得0m 2 （ ） 2011. 虹 口 一 模 . 13) 已 知 函 数16)(,2)( 2 xxxgaxxf， 对 于 任 意 的 1 ,11x都能找到)()(,1 , 1122xfxgx使得，则实数a的取值范围是； 5 解：26a 3 （） （选） 函数 1 , 0, 2 74 )( 2 x x x xf, （1）求)(xf的单调区间和值域； （ 2）设1a，函数 1 , 0,23)( 23 xaxaxxg。若对任意 1 , 01x，总存在 1 ,0 0 x，使得 )()( 10 xfxg成立，求实数a的取值范围； 解：(1)0,1x，令21,2tx，2xt， 则 2 4(2)79 ( )416 t f xt tt ，1,2t 所以，( )f x的值域为 4, 3 当 3 1, 2 t时，( )f x单调递减；当 3 ,2 2 t时，( )f x单调递增； 故( )f x在 1 0, 2 x时为单调递减，在 1 ,1 2 x时单调递增； （2）对任意 23 ,0,1xx，不妨假设 23 xx，有 3232 232233 ()()32(32 )g xg xxa xaxa xa 222 232323 ()(3)xxxxx xa 因为 23 0 xx， 22 2323 3xxx x， 2 33a， 故 23 ()()0g xg x，函数( )g x在0,1上单调递减。 则函数( )g x的值域为 2 (1), (0)132 , 2 ggaaa 由题意，任给 1 0,1x ， 1 () 4,3f x ，存在 0 0,1x，使得 01 ()()g xf x， 则 2 123, 2 4, 3.aaa即 2 5 1 1234, 3 323. . 2 aa aa a a 或 又1a，故a的取值范围为 3 1. 2 a 4 (选) 若不等式) 1(12 2 xmx对一切2,2m都成立，求实数x的取值范围。 （） 6 突破口： 确定变量，为m。 解： 令 2 ()(1)21f mm xx， 则上述问题即可转化为关于m的一次函数()yf m在区间 2,2内函数值小于0 恒成立的问题。 考察区间端点，只要( 2)0f且(2)0f即可， 解得 7131 (,) 22 x。 回顾总结：3 min. 现在，总结一下本节课的收获吧？