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2012-2013学年江苏省常州高级中学高三(上)12月月考数学试卷(理科)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分1(5分)若复数)是纯虚数,则实数a的值为1考点:复数代数形式的乘除运算专题:计算题分析:将化为再判断即可解答:解:=是纯虚数,a+1=0且1a0,a=1故答案为:1点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,将复数的分母实数化是关键,属于基础题2(5分)(2013松江区一模)集合A=0,2,a,B=1,a2,若AB=0,1,2,4,16,则a的值为4考点:并集及其运算专题:计算题分析:根据题意,由并集的计算方法,结合a与a2的关系,易得 ,即可得答案解答:解:A=0,2,a,B=1,a2,AB=0,1,2,4,16a=4,故答案为:4点评:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题3(5分)经过点(2,1),且与直线2x3y1=0垂直的直线方程是3x+2y4=0考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系专题:直线与圆分析:由题意易得直线2x3y1=0的斜率为,进而可得所求直线的斜率,又该直线过定点,由点斜式可得方程,化为一般式即可解答:解:根据题意,易得直线2x3y1=0的斜率为,根据互相垂直的直线的斜率的关系,可得l的斜率为,又由直线经过点(2,1),则所求的直线方程为y+1=(x2),即3x+2y4=0,故答案为:3x+2y4=0点评:本题为直线方程的求解,由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键,注意最后要化为直线方程的一般式,属基础题4(5分)平面直接坐标系xoy中,角的始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=x上,则sin=考点:直线的倾斜角专题:直线与圆分析:因为知道了角的终边,可以在角的终边上任取一点,求出该点到原点的距离,直接运用三角函数的定义求解解答:解:在直线y=x上任意取一点(a,a),且a0 则,r=2|a|,再由sin=,故答案为点评:本题考查了任意角的三角函数定义,解答此题的关键是熟记定义,是基础题5(5分)某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为考点:相互独立事件的概率乘法公式专题:计算题分析:由于学校有两个食堂,不妨令他们分别为食堂A、食堂B,则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为,代入相互独立事件的概率乘法公式,即可求出他们同在食堂A用餐的概率,同理,可求出他们同在食堂B用餐的概率,然后结合互斥事件概率加法公式,即可得到答案解答:解:甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为,则他们同时选中A食堂的概率为:=;他们同时选中B食堂的概率也为:=;故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为:点评:本小题主要考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,要想计算一个事件的概率,首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步),然后再利用加法原理和乘法原理进行求解6(5分)右图是一个算法流程图,则执行该算法后输出的s=81考点:循环结构专题:计算题分析:按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件,直到满足条件,执行输出解答:解:当i=1时,不满足退出循环的条件,S=3,i=2;当i=2时,不满足退出循环的条件,S=9,i=3;当i=3时,不满足退出循环的条件,S=27,i=4;当i=4时,不满足退出循环的条件,S=81,i=5;当i=5时,满足退出循环的条件,故答案为:81点评:本题主要考查了循环结构,在解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律,属于基础题7(5分)(2012重庆)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB=考点:余弦定理;同角三角函数间的基本关系专题:计算题分析:由C为三角形的内角,及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,再由a与b的值,利用余弦定理列出关于c的方程,求出方程的解得到c的值,再由sinC,c及b的值,利用正弦定理即可求出sinB的值解答:解:C为三角形的内角,cosC=,sinC=,又a=1,b=2,由余弦定理c2=a2+b22abcosC得:c2=1+41=4,解得:c=2,又sinC=,c=2,b=2,由正弦定理=得:sinB=故答案为:点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键8(5分)设向量,的夹角为120,则实数k=3考点:数量积表示两个向量的夹角专题:计算题;平面向量及应用分析:由向量夹角公式可得,cos120=0可知,k0,解方程即可求解k解答:解:由向量夹角公式可得,cos120=k0整理可得,k2=9k=3故答案为:3点评:本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示,解题中不要漏掉对k的范围的判断,本题容易漏掉判断k而产生两解k=39(5分)(2007东城区一模)过点的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A、B两点,C为圆心,当ACB最小时,直线l的方程为 2x4y+3=0考点:直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程专题:计算题分析:研究知点在圆内,过它的直线与圆交于两点A,B,当ACB最小时,直线l与CM垂直,故先求直线CM的斜率,再根据充要条件求出直线l的斜率,由点斜式写出其方程解答:解:验证知点在圆内,当ACB最小时,直线l与CM垂直,由圆的方程,圆心C(1,0)kCM=2,kl=l:y1=(x),整理得2x4y+3=0故应填2x4y+3=0点评:本题考点是直线与圆的位置关系,考查到了线线垂直时斜率之积为1,以及用点斜式写出直线的方程10(5分)已知函数f(x)=,若f(32a2)f(a),则实数a的取值范围是a或a1考点:函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质专题:计算题分析:当x0时,是减函数,所以y=log2()也是减函数此时的最大值是f(0)=log2()=log21=0当x0时,y=()2x1是减函数此时的最小值()01=0所以函数在R上是减函数因为f(32a2)f(a),所以32a2a,2a2+a30,解得a1或a解答:解:当x0时,是减函数,所以y=log2()也是减函数此时的最大值是f(0)=log2()=log21=0当x0时,y=()2x1是减函数此时的最小值()01=0所以函数在R上是减函数因为f(32a2)f(a),所以32a2a,2a2+a30,解得a1或a故答案为:a1或a点评:本题考查函数解析式的求解和常用方法,解题时要认真审题,注意分段函数的性质和应用11(5分)设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)=考点:归纳推理专题:归纳法分析:由已知所给的前几函数的特点:分子都是x,分母是关于x的一次式,其常数项为2n,一次项的系数比常数项小1,据此即可得出答案解答:解:观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,可知:分子都是x,分母是关于x的一次式,其常数项为2n,一次项的系数比常数项小1,故fn(x)=故答案为点评:善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键12(5分)(2009江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为考点:椭圆的简单性质专题:计算题;压轴题分析:解法一:可先直线A2B2的方程为,直线B1F的方程为,联立两直线的方程,解出点T的坐标,进而表示出中点M的坐标,代入椭圆的方程即可解出离心率的值;解法二:对椭圆进行压缩变换,椭圆变为单位圆:x2+y2=1,F(,0)根据题设条件求出直线B1T方程,直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率解答:解法一:由题意,可得直线A2B2的方程为,直线B1F的方程为两直线联立得T(),由于此点在椭圆上,故有,整理得3a210acc2=0即e2+10e3=0,解得故答案为解法二:对椭圆进行压缩变换,椭圆变为单位圆:x2+y2=1,F(,0)延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1,TM=MO=ON=1,设T(x,y),则,y=x+1,由割线定理:TB2TA1=TMTN,(负值舍去)易知:B1(0,1)直线B1T方程:令y=0,即F横坐标即原椭圆的离心率e=故答案:点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答13(5分)已知函数f(x)=,若关于的方程满足f(x)=m(mR)有且仅有三个不同的实数根,且,分别是三个根中最小根和最大根,则的值为考点:根的存在性及根的个数判断专题:函数的性质及应用;三角函数的求值分析:同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象和直线y=m,因为两图象有且仅有三个公共点,所以m=1再解方程f(x)=1,得最小根=,最大根=,将它们代入再化简,即可得到要求值式子的值解答:解:函数f(x)=的图象如下图所示:可得函数f(x)的单调减区间为(,)和(,);单调增区间为(,)和(,+),f(x)的极大值为f()=1,极小值为f()=和f()=0将直线y=m进行平移,可得当m=1时,两图象有且仅有三个不同的公共点,相应地方程f(x)=m(mR)有且仅有三个不同的实数根令f(x)=1,得x1=,x2=,x3=,所以=,=,sin(+)=sin=()=故答案为:点评:本题以分段函数为例,求方程的最大根和最小根,并且用这个根来求值,着重考查了函数与方程的关系,以及三角函数求值等知识,属于中档题14(5分)(2011盐城二模)已知f(x)=cosx,g(x)=sinx,记Sn=2,Tm=S1+S2+Sm,若Tm11,则m的最大值为5考点:数列与不等式的综合;数列的求和
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