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课时作业74不等式的证明1已知a0,b0,c0,且abc1.(1)求证:a2b2c2;(2)求证:1.证明:(1)a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca,a2b2c2abbcca,(abc)21,a2b2c22ab2bc2ca1,3(a2b2c2)1,即a2b2c2.(2)b2a,c2b,a2c,(abc)2(abc),即abc,abc1,1.2(2019南宁、柳州联考)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)32|x|的解集;(2)若函数g(x)f(x)|x3|的最小值为m,正数a,b满足abm,求证:4.解:(1)当x1时,x132x,解得x,x;当0x1时,1x32x,解得x2,无解;当x0时,1x32xx,x.原不等式的解集为x|x或x(2)证法1:g(x)|x1|x3|(x1)(x3)|4,m4,即ab4.又b2a,a2b,两式相加得(b)(a)2a2b,ab4,当且仅当ab2时等号成立证法2:g(x)|x1|x3|(x1)(x3)|4,m4,即ab4,由柯西不等式得()(ba)(ab)2,ab4,当且仅当,即ab2时等号成立3(2019贵阳市监测考试)已知不等式|2x3|x与不等式x2mxn0时,|2x3|xx2x3x1x0,0,t213t.5(2019广东中山二模)已知函数f(x)x1|3x|,x1.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)的最小值为n,正数a,b满足2naba2b,求证:2ab.解:(1)根据题意,若f(x)6,则有或解得1x4,故原不等式的解集为x|1x4(2)证明:函数f(x)x1|3x|分析可得f(x)的最小值为4,即n4,则正数a,b满足8aba2b,即8,2ab(2ab),原不等式得证6(2019山西晋中二模)已知函数f(x)|x1|.(1)若x0R,使不等式f(x02)f(x03)u成立,求满足条件的实数u的集合M;(2)已知t为集合M中的最大正整数,若a1,b1,c1,且(a1)(b1)(c1)t,求证:abc8.解:(1)由已知得f(x2)f(x3)|x1|x2|则1f(x)1,由于x0R,使不等式|x01|x02|u成立,所以u1,即Mu|u1(2)证明:由(1)知t1,则(a1)(b1)(c1)1,因为a1,b1,c1,所以a10,b10,c10,则a(a1)120(当且仅当a2时等号成立),b(b1)120(当且仅当b2时等号成立),c(c1)120(当且仅当c2时等号成立),则abc88(当且仅当abc2时等号成立)
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