备战中考初中数学导练学案50 讲 第 03 讲整式与因式分解 【疑难点拨】 1. (a m ) n 与 a m a n 的区别： 易把同底数幂的乘法和幂的乘方相混淆, 如 x 2x3=x5 和(x 3)3=x9, 即(am ) n 和 a m a n 混淆 . 2. 因式分解的步骤. 易错原因 : 一是提不出公因式和不能正确运用公式; 二是因式分解不彻底; 三是因 式分解与整式乘法相混淆. 3. 整式运算中常见的错误：最常见的错误:(1) 去括号时符号出错;(2) 完全平方公式不熟悉. 4. 整式的运算 . (1) 进行整式的运算时, 一要注意合理选择运算法则, 二要注意结果的符号.(2) 整式的 运算顺序是 : 先计算乘除 , 再做整式的加减, 整式加减的实质就是合并同类项, 其中能运用乘法公式计 算的应采用乘法公式进行计算. 5. 因式分解的应用：(1) 通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式, 关键要能准确计算阴影 部分的面积 .(2) 利用因式分解进行计算与化简, 先把要求的代数式进行因式分解, 再代入已知条件计 算. 6. 整式的创新应用：解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用, 从分析图形的结构入手, 分 析图形结构的形成过程, 从简单到复杂, 进行归纳猜想, 从而获得隐含的数学规律, 并用代数式进行描 述. 【基础篇】 一、选择题： 1.（2018湖北省武汉 3 分）计算3x 2x2 的结果是（） A2 B 2x 2 C 2x D4x 2 2.（2018?山东淄博 ?4 分）若单项式a m 1b2 与的和仍是单项式，则n m的值是（ ） A3 B6 C8 D9 3.（2018?山东枣庄 ?3 分）下列计算，正确的是（） Aa 5+a5=a10 Ba 3a1=a2 Ca?2a 2=2a4 D （ a 2）3= a6 4.（2018湖北省武汉 3 分）计算（ a2） （a+3）的结果是（） Aa 2 6 B a 2+a6 Ca 2+6 Da 2a+6 5.（2018重庆 (A) 4 分）按如图所示的运算程序, 能使输出的结果为12的是（） . A. 3, 3 yx B. 2,4 yx C.4,2 yx D.2,4 yx 二、填空题： 6. （2018 四川省泸州市3 分）分解因式：3a 23= 7.（2018?山东菏泽? 3 分）若 a+b=2，ab=3，则代数式a 3b+2a2b2+ab3 的值为 8.（2018?甘肃白银，定西，武威?3 分） 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625， 则第 2018 次输出的结果为_ 三、解答与计算题： 9.（2018湖北省宜昌 6 分）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x） （2x） ，其中 x=4 10.（2018 秋?简阳市期中）已知a、b、c 是 ABC的三边的长，且满足a 2+2b2+c22b（a+c）=0，试 判断此三角形的形状 【能力篇】 一、选择题： 11.（2018?山东枣庄 ?3分）如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形若 拿掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（） A3a+2b B3a+4b C 6a+2b D6a+4b 12.（2018山东威海 3 分）已知5 x=3，5y=2，则 52x3y=（ ） A B 1 C D 13. （2018湖北省宜昌 3分） 1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规 律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列 规律，则a，b，c 的值分别为（） Aa=1， b=6，c=15 B a=6，b=15，c=20 Ca=15，b=20， c=15 D a=20，b=15，c=6 二、填空题： 14.（2018浙江宁波 4 分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片 覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为S1，图 2 中阴影部分的面积为S2当 AD AB=2 时， S2S1的值为 . 15.（2018浙江宁波 4 分）已知x，y 满足方程组，则 x 24y2 的值为. 三、解答与计算题： 16. 计算： （1） （ 2a） 3 （ a）?（ 3a） 2 （2） （2a3b） 24a（a2b） 17.下面是某同学对多项式（x 24x+2）（ x24x+6）+4 进行因式分解的过程 解：设 x 24x=y 原式 =（y+2）（ y+6）+4（第一步） =y 2+8y+16（第二步） =（y+4） 2（第三步） =（x 2 4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C A、提取公因式B平方差公式 C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 22x）（ x22x+2）+1 进行因式分解 18.千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为（3a+b）米，宽为（ 2a+b）米的长方形地，物业 部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的长方形），则 绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2 时的绿化面积 【探究篇】 19.（2018浙江衢州6 分）有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长 增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab+b2=（ a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的： a 2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（ a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程 方案二： 方案三： 20.阅读下面的解答过程，求y 2+4y+8 的最小值 解： y 2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+44，（ y+2）20 即（ y+2）2 的最小值为0， y 2+4y+8 的最小值为 4 仿照上面的解答过程，求m 2+m+4的最小值和 4x 2+2x 的最大值 备战 2019 中考初中数学导练学案50 讲 第 03 讲整式与因式分解 【疑难点拨】 1. (a m ) n 与 a m a n 的区别： 易把同底数幂的乘法和幂的乘方相混淆, 如 x 2x3=x5 和(x 3)3=x9, 即(am ) n 和 a m a n 混淆 . 2. 因式分解的步骤. 易错原因 : 一是提不出公因式和不能正确运用公式; 二是因式分解不彻底; 三 是因式分解与整式乘法相混淆. 3. 整式运算中常见的错误：最常见的错误:(1) 去括号时符号出错;(2) 完全平方公式不熟悉. 4. 整式的运算 . (1) 进行整式的运算时, 一要注意合理选择运算法则, 二要注意结果的符号.(2) 整 式的运算顺序是: 先计算乘除 , 再做整式的加减, 整式加减的实质就是合并同类项, 其中能运用乘法公 式计算的应采用乘法公式进行计算. 5. 因式分解的应用：(1) 通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式, 关键要能准确计算 阴影部分的面积.(2) 利用因式分解进行计算与化简, 先把要求的代数式进行因式分解, 再代入已知条 件计算 . 6. 整式的创新应用： 解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用, 从分析图形的结构入手, 分析图形结构的形成过程, 从简单到复杂, 进行归纳猜想, 从而获得隐含的数学规律, 并用代数式进行 描述 . 【基础篇】 一、选择题： 1.（2018湖北省武汉 3 分）计算3x 2x2 的结果是（） A2 B 2x 2 C 2x D4x 2 【分析】根据合并同类项解答即可 【解答】解： 3x 2x2=2x2， 故选： B 【点评】此题考查合并同类项，关键是根据合并同类项的法则解答 2.（2018?山东淄博 ?4 分）若单项式a m 1b2 与的和仍是单项式，则n m的值是（ ） A3 B6 C8 D9 【考点】 35：合并同类项；42：单项式 【分析】首先可判断单项式a m 1b2 与是同类项，再由同类项的定义可得m 、n 的值，代入求解 即可 【解答】解：单项式a m 1b2 与的和仍是单项式， 单项式a m 1b2 与是同类项， m 1=2，n=2， m=3 ，n=2， n m =8 故选： C 【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同 3.（2018?山东枣庄 ?3 分）下列计算，正确的是（） Aa 5+a5=a10 Ba 3a1=a2 Ca?2a 2=2a4 D （ a 2）3= a6 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计 算，判断即可 【解答】解： a 5+a5=2a5，A错误； a 3a 1=a3（ 1） =a 4，B错误； a?2a 2=2a3，C错误； （ a 2）3=a6，D正确， 故选： D 【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式，掌握它们的运算 法则是解题的关键 4.（2018湖北省武汉 3 分）计算（ a2） （a+3）的结果是（） Aa 2 6 B a 2+a6 Ca 2+6 Da 2a+6 【分析】根据多项式的乘法解答即可 【解答】解：（a2） （a+3）=a 2 +a6， 故选： B 【点评】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答 5.（2018重庆 (A) 4 分）按如图所示的运算程序, 能使输出的结果为12的是（） . A. 3, 3 yx B. 2,4 yx C.4,2 yx D.2,4 yx 【考点】代数式的运算 【解析】 由题可知 , 代入x、y值前需先判断y的正负，再进行运算方式选择。A选项0y，故 将x、y代入 2 2xy，输出结果为15，选项排除；B选项0y，故将x、y代入 2 2xy，输出 结果为20，选项排除；C选项0y，故将x、y代入 2 2xy，输出结果为12，选项正确；D选 项0y，故将x、y代入 2 2xy，输出结果为20，选项排除；最终答案为C选项。 【点评】本题为代数计算题型，根据运算程序，先进行y的正负判断，选择对应运算方式，进行运算 即可，难度简单。 二、填空题： 6. （2018 四川省泸州市3 分）分解因式：3a 23= 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解： 3a 23， =3（a 21） ， =3（a+1） （a1） 故答案为： 3（a+1） （a 1） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然 后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 7.（2018?山东菏泽? 3 分）若 a+b=2，ab=3，则代数式a 3b+2a2b2+ab3 的值为 【考点】 59：因式分解的应用 【分析】根据a 3b2a2b2+ab3=ab（a22ab+b2 ）=ab（ab） 2 =ab （a+b） 24ab ，结合已知数据即可 求出代数式a 3b 2a2b2+ab3 的值 【解答】解：a+b=2，ab=3， a 3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b） 2 =ab （a+b） 2 2ab =3（4+6） =30 故答案为： 30 【点评】 本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分