备战中考初中数学导练学案50 讲 第 40 讲动态问题 【疑难点拨】 1. 动态型问题是以点、线、面( 如三角形、四边形) 的运动为情境，探索和发现其中 规律和结论的中考题型，由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量 关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系， 使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合性，以达到培养和考查学 生的观察、试验、空间想象、分析综合等解决问题的能力，在全国的中考试卷中常作为 压轴题出现，类型有：(1) 点的运动， (2) 线的运动， (3) 面( 如三角形、四边形) 的运动 2. 解决动态问题的思维与方法：(1) 认清问题中的静态图形和动态图形，并确定动 态图形的起始位置和终止位置；(2) 画出不同时刻动态图形与静态图形形成的几何图形， 这样就能达到由“动”变“静”，再设法分别求解问题 3. 动态问题中求图形面积(S) 与时间 (t) 的基本步骤： （1）设动点运动的时间为t ； （2）找到并标出动点的运动路线，并找到动点运动过程中的转折点( 即从某一条边运动 到另一条边的时刻) ，再以此转折点为分类指标进行分类讨论，求出每个运动轨迹上的图 形面积 S与 t 之间的函数关系式； （3）图形面积S与时间 t 之间的函数关系式的求解分 为两种情况： (1) 若所求图形的某些边在动点的运动轨迹上，且图形是规则的(如三角形、 矩形、正方形、圆) ，则可直接求解：若所求图形为三角形，则用含t 的代数式表示出 三角形的底，再用勾股定理、三角形相似、线段成比例等知识求出高，从而得出图形面 积与时间t 之间的关系；若所求图形为矩形、正方形，则用含t 的代数式表示出其边 长，用面积公式即可求出图形面积与时间t 之间的关系；若所求图形为圆，则用含t 的代数式表示出其半径，用圆的面积公式即可得出图形面积与时间t 之间的关系； (2) 若 所求图形的边都不在动点的运动轨迹上，则需利用割补法将所求图形转化为边在动点运 动轨迹上的图形( 可以是三角形、矩形、正方形、圆，也可以是几个图形的面积和差) ， 再利用 (1) 中的方法进行求解 【基础篇】 一、选择题： 1.（2018?无锡）如图，已知点E是矩形 ABCD 的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点 G、H都 在边 AD上，若 AB=3 ，BC=4 ，则 tan AFE的值（） A等于B等于 C等于D随点 E位置的变化而变化 2.（2018?广安? 3 分）已知点 P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M 从点 P出发，沿 其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（） A B CD 3. （2018?宜宾） 在 ABC中，若 O为 BC边的中点， 则必有： AB 2+AC2=2AO2+2BO2 成立依据以上结论， 解决如下问题： 如图，在矩形 DEFG中，已知 DE=4 ， EF=3， 点 P在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF 2+PG2 的最小值为（） ABC34 D10 4. (2018 辽宁省葫芦岛市) 如图，在?ABCD中，AB=6 ， BC=10 ， AB AC ，点 P从点 B出发沿着BAC 的路径运动，同时点Q从点 A出发沿着ACD 的路径以相同的速度运动，当点P到达点 C时，点 Q 随之停止运动， 设点 P运动的路程为x， y=PQ 2， 下列图象中大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是 （） ABCD 5.（2018?莱芜?3 分）如图，边长为 2 的正 ABC 的边 BC在直线 l 上，两条距离为 l 的平 行直线 a 和 b 垂直于直线 l ，a 和 b 同时向右移动 （a 的起始位置在 B点） ，速度均为每秒 1 个单位，运动时间为t （秒） ，直到 b 到达 C点停止，在 a 和 b 向右移动的过程中，记 ABC 夹在 a 和 b 之间的部分的面积为s，则 s 关于 t 的函数图象大致为（） 二、填空题： 6.（2018 辽宁省盘锦市） 如图，在矩形 ABCD中， 动点 P从 A 出发，以相同的速度， 沿 ABCDA 方向运动到点A 处停止设点 P运动的路程为x， PAB面积为 y， 如果 y 与 x的函数图象如图所示， 则矩形 ABCD的面积为 8. （2018?呼和浩特? 3 分）如图，已知正方形ABCD ， 点 M 是边 BA延长线上的动点 （不与点A重合）， 且 AMAB， CBE由 DAM 平移得到若过点E作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论：点M 位 置变化，使得DHC=60 时，2BE=DM；无论点M 运动到何处，都有DM=HM；无论点M 运动 到何处， CHM 一定大于135 其中正确结论的序号为 三、解答与计算题： 9.（2018?白银）已知矩形ABCD中， E是 AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC ，BE ，CE的中 点 （1）求证： BGF FHC ； （2）设 AD=a ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积 10.（2018广西贺州 12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点 （A 在 B 的左侧），且 OA=3， OB=1，与 y 轴交于 C（0，3） ，抛物线的顶点坐标为D（ 1，4） （1）求 A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）过点 D 作直线 DEy 轴，交 x 轴于点 E， 点 P是抛物线上B、D 两点间的一个动点 （点 P不与 B、 D 两点重合），PA 、PB与直线 DE分别交于点F、G，当点 P 运动时， EF +EG是否为定值？若是，试求 出该定值；若不是，请说明理由 能力篇】 一、选择题： 11.（2018?宁波）如图，正方形ABCD 的边长为8，M是 AB的中点， P是 BC边上的动点，连结PM ， 以点 P为圆心， PM长为半径作 P当 P与正方形ABCD 的边相切时， BP的长为（） A. 3 或 4 B.4或 3 C. 4 D. 3 12.（2018?呼和浩特）如图，已知正方形ABCD ，点 M是边 BA延长线上的动点（不与点A重合）， 且 AM AB ， CBE由 DAM 平移得到若过点E作 EH AC ，H为垂足，则有以下结论：点M位置变 化，使得 DHC=60 时， 2BE=DM ；无论点M运动到何处，都有DM=HM ；无论点M运动到何处， CHM 一定大于135其中正确结论的结论是（） A. B. C. D. 13. （2018?泸州） 在平面直角坐标系内，以原点 O为圆心， 1 为半径作圆， 点 P在直线 y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则 PA的最小值为（） A3 B2 CD 二、填空题： 14. （2018?嘉兴） 如图， 在矩形 ABCD 中，AB=4 ，AD=2 ，点 E在 CD上，DE=1 ，点 F 是边 AB上一动点， 以 EF 为斜边作RtEFP 若点 P在矩形 ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值 是 15.（2018江苏镇江 8 分）如图1，平行四边形ABCD 中， AB AC ，AB=6 ， AD=10 ，点 P在边 AD上 运动，以P为圆心， PA为半径的 P与对角线AC交于 A，E两点 （1）如图 2，当 P与边 CD相切于点F时，求 AP的长； （2）不难发现， 当 P与边 CD相切时， P与平行四边形ABCD 的边有三个公共点，随着 AP的变化， P 与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP 的值的取值范围 三、解答与计算题： 16.（2017 江苏盐城）如图，ABC是一块直角三角板，且C=90 ， A=30 ，现将圆心为点O的 圆形纸片放置在三角板内部21*cnjy*com （1）如图，当圆形纸片与两直角边AC 、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ； （不写作法与 证明，保留作图痕迹） （2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1 周，回到起点位置时停止，若BC=9 ，圆形纸 片的半径为2，求圆心O运动的路径长 17. （2017 山东烟台） 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ， BD相交于点O ， AC=12cm ，BD=16cm ，动点 N 从点 D出发，沿线段DB以 2cm/s 的速度向点B运动，同时动点M从点 B出发，沿线段BA以 1cm/s 的 速度向点A运动， 当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s） （t 0） ， 以点 M为圆心， MB长为半径的 M与射线 BA ，线段 BD分别交于点E，F，连接 EN （1）求 BF的长（用含有t 的代数式表示） ，并求出t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，线段EN与 M相切？ （3）若 M与线段 EN只有一个公共点，求t 的取值范围 18.（2018?福建）如图，D 是 ABC外接圆上的动点，且B，D 位于 AC的两侧， DEAB ，垂足为E， DE的延长线交此圆于点FBG AD ，垂足为 G，BG交 DE于点 H，DC ，FB的延长线交于点P，且 PC=PB （1）求证： BG CD ； （2）设 ABC外接圆的圆心为O，若 AB=DH ，OHD=80 ，求 BDE的大小 【探究篇】 19.（2018四川省攀枝花）如图，在ABC中， AB=7.5，AC=9，SABC= 81 4 动点 P从 A 点出发，沿 AB方向以每秒5 个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q 从 C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向 A 点匀速运动，当点P运动到 B 点时， P、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正 PQM（P、 Q、M 按逆时针排序） ，以 QC为边在 AC上方作正 QCN，设点 P运动时间为t 秒 （1）求 cosA 的值； （2）当 PQM 与 QCN的面积满足SPQM= 9 5 SQCN时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，PQM 的某个顶点（ Q 点除外）落在QCN的边上 20.（2018湖北江汉 12 分）抛物线 y= x2+x1 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的 左侧） ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿 直线 l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ” 形的新图象 （1）点 A，B，D 的坐标分别为，； （2）如图 ，抛物线翻折后，点D 落在点 E处当点 E在ABC内（含边界）时，求t 的取值范围； （3）如图 ，当 t=0 时，若 Q是“M ” 形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与 x 轴相切于点 P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 21.（2018吉林长春 10 分）如图，在 RtABC中，C=90 ，A=30 ，AB=4 ，动点 P从 点 A 出发， 沿 AB以每秒 2 个单位长度的速度向终点B 运动 过点 P作 PD AC于点 D （点 P 不与点 A、B 重合） ，作 DPQ=60 ，边 PQ交射线 DC于点 Q设点 P 的运动时间为t 秒 （1）用含 t 的代数式表示线段DC的长； （2）当点 Q 与点 C重合时，求 t 的值； （3）设 PDQ与ABC重叠部分图形的面积为S，求 S与 t 之间的函数关系式； （4）当线段 PQ的垂直平分线经过 ABC一边中点时，直接写出t 的值 第 40 讲动态问题 【疑难点拨】 1. 动态型问题是以点、线、面( 如三角形、四边形) 的运动为情境，探索和发现其中 规律和结论的中考题型，由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量 关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系， 使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合