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高考复习归纳训练高考复习精推资源题型归纳高效训练2021年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破专题4.5 正弦定理和余弦定理目录一、题型全归纳1题型一 利用正、余弦定理解三角形1类型一用正弦定理解三角形2类型二用余弦定理解三角形2类型三 综合利用正、余弦定理解三角形3题型二 利用正、余弦定理边角互化5题型三 与三角形面积有关的问题7二、高效训练突破10一、题型全归纳题型一 利用正、余弦定理解三角形【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A,B与一边a,由ABC及,可先求出角C及b,再求出c.(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2b2c22bccos A,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理可求出另一边b的对角B,由C(AB),可求出角C,再由可求出c,而通过求角B时,可能有一解或两解或无解的情况类型一用正弦定理解三角形【例1】(2020北京朝阳区模拟)在ABC中,B,c4,cosC,则b()A3 B3 C. D.【答案】B【解析】因为cosC,C(0,),所以sinC.又因为B,c4,所以由正弦定理得b3.【例2】(2020丹东模拟)在ABC中,C60,AC,AB,则A()A15 B45 C75 D105【答案】C【解析】在ABC中,C60,AC,AB,由正弦定理得sinB.因为ABAC,所以CB,所以B,所以B45,又C60,所以A180BC180456075.类型二用余弦定理解三角形【例3】(2020贵阳模拟)平行四边形ABCD中,AB2,AD3,AC4,则BD()A4 B. C. D.【答案】B【解析】如图所示在ABC中,AB2,BCAD3,AC4,由余弦定理得cosABC,所以cosDABcosABC,在ABD中,由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcosDAB322223210.所以BD.【例4】在ABC中,AB4,AC7,BC边上中线AD,则BC_【答案】9【解析】设BDDCx,ADC,ADB,在ADC中,72x2()22xcos ,在ABD中,42x2()22xcos(),得x,BC9.类型三 综合利用正、余弦定理解三角形【例5】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A;若ab2c,求sin C.【答案】A60【解析】由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180,所以A60.由知B120C,由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C,即cos Csin C2sin C,可得cos(C60).由于0C120,所以sin(C60),故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.【例6】在ABC中,a3,bc2,cosB.(1)求b,c的值;(2)求sin(BC)的值【答案】(1)c5,b7.(2).【解析】(1)由余弦定理b2a2c22accosB,得b232c223c.因为bc2,所以(c2)232c223c,解得c5,所以b7.(2)由cosB,得sinB.由正弦定理,得sinCsinB.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角,所以cosC.所以sin(BC)sinBcosCcosBsinC.题型二 利用正、余弦定理边角互化【题型要点】1应用正、余弦定理转化边角关系的技巧技巧解读边化角将表达式中的边利用公式a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC化为角的关系角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值用余弦定理转化和积互化a2b2c22bccosA(bc)22bc(1cosA)可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边2利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用ABC这个结论 【例1】(2020武汉调研)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA,则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形【答案】A【解析】因为cosA,所以cbcosA,由正弦定理得sinCsinBcosA,又ABC,所以sinCsin(AB)所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA,所以sinAcosB0,所以cosB0,B为钝角,所以ABC是钝角三角形【例2】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinAbsinB4csinC,cosA,则()A6 B5 C4 D3【答案】A【解析】asinAbsinB4csinC,由正弦定理得a2b24c2,即a24c2b2.由余弦定理得cosA,6.故选A.【例3】(2020黄冈模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2acosAccosBbcosC.(1)求角A;(2)若a,6,求ABC的周长【答案】(1)A(2)7【解析】(1)因为2acosAbcosCccosB,在ABC中,由正弦定理2R,得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,所以2sinAcosAsinBcosCcosBsinC,即2sinAcosAsin(BC)sinA,因为0A,所以sinA0,所以2cosA1,即cosA,所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccosA,得13b2c22bc.得(bc)23bc13,由6,得bccosA6,所以bc12.所以(bc)23613,得bc7,所以ABC的周长为abc7.题型三 与三角形面积有关的问题【题型要点】1求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解(2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解. 【例1】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin Acos A0,a2,b2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积【答案】(1)c4;(2)【解析】(1)由已知条件可得tan A,A(0,),所以A,在ABC中,由余弦定理得284c24ccos ,即c22c240,解得c6(舍去),或c4.(2)法一:如图,由题设可得CAD,所以BADBACCAD,故ABD面积与ACD面积的比值为1,又ABC的面积为42sinBAC2,所以ABD的面积为.法二:由余弦定理得cos C,在RtACD中,cos C,所以CD,所以AD,DBCD,所以SABDSACD2sin C.法三:BAD,由余弦定理得cos C,所以CD,所以AD,所以SABD4sinDAB.【例2】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B,则ABC的面积为_【答案】6【解析】法一:因为a2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二:因为a2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以a2b2c2,所以A,所以ABC的面积S266.【例3】(2020贵阳模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列,C120.(1)求边长a;(2)求AB边上的高CD的长【答案】(1)a3;(2)【解析】(1)由题意得ba2,ca4,由余弦定理cos C得cos 120,即a2a60,所以a3或a2(舍去),所以a3.(2)法一:由(1)知a3,b5,c7,由三角形的面积公式得absinACBcCD,所以CD,即AB边上的高CD.法二:由(1)知a3,b5,c7,由正弦定理得,即sin A,在RtACD中,CDACsin A5,即AB边上的高CD.二、高效训练突破一、选择题1设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】B【解析】由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A,sin(BC)sin2A,即sin(A)sin2A,sin Asin2A.A(0,),sin A0,sin A1,即A,ABC为直角三角形2已知ABC中,A,B,a1,则b等于()A2 B1 C. D.【答案】D【解析】由正弦定理,得,所以,所以b.3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA,cosC,a1,则b等于()A2 B
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