1, 5.3 拉普拉斯变换的基本性质,2,主要内容,线性 延时（时域平移） 尺度变换 s域平移 原函数积分原函数微分 对s域微分 对s域积分 初值终值 时域卷积,3,基本要求,对下列性质的熟练掌握（数学描述，应用） 延时性质 尺度变换 对时间函数的微分、积分 初值、终值性质 时域卷积,4,一线性性质,解：,例：,说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。,5,二延时（时域平移）,证明：,若 则,6,二延时（时域平移）,注意： (1)一定是 的形式的信号才能用时移性质 (2)信号一定是右移 (3)表达式 等 所表示的信号不能用时移性质,7,因为,所以,解：,二延时（时域平移）,8,解：4种信号的波形如图,例：,二延时（时域平移）,9,只有信号 可以用延时性质,二延时（时域平移）,10,解：,例,二延时（时域平移）,不能采用时延性质计算,11,二延时（时域平移）,时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。,结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以,12,13,求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换,第一个周期的信号为,所以,14,三尺度变换,时移和尺度变换都有:,证明：,若 则,15,四s 域平移,证明：,若 则,例：求 的拉氏变换,解：,16,五时域微分定理,推广：,证明：,若 则,17,六时域积分定理,证明：,若 则,1、因为第一项与 t 无关，是一个常数。 2、如果 f ( t )是一个因果信号，则这一 项为0,18,例：求图示信号的拉普拉斯变换,求导得,所以,解：,六时域积分定理,19,若 则 取正整数,七s 域微分定理,证明：对拉普拉斯正变换定义式 求导得,即得证。,20,七s 域微分定理,例,解：因为,所以,21,八s 域积分定理,两边对 s 积分：,交换积分次序:,证明：,若 则,22,若 拉氏变换存在，且,九初值定理和终值定理,终值存在的条件:,若 的拉氏变换存在，且 则,初值定理,的所有极点有负实部,终值定理,证明,证明,初值定理应用的条件: f (t)不包含冲激信号及其各阶导数项,则,23,由时域微分定理可知,所以,返回,九初值定理和终值定理,初值定理证明：,所以,24,终值定理证明,根据初值定理证明时得到的公式,九初值定理和终值定理,返回,25,例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值,初值,终值,初值,终值,注意应用终值定理的条件是满足的。,解：,九初值定理和终值定理,26,初值,因为 有两重极点 ，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即 的终值不存在,九初值定理和终值定理,例：,解：,即单位阶跃信号的初始值为1。,27,十时域卷积,若 为因果信号 则,证明：,交换积分次序,28,作业(13-06-08),P181 5-3（2）、（4）、（6）、（8） 5-4 （1）、（3） 5-5 （a) 5-6 （3）、（5）,