广东省执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数=（ ）A B C D2、设集合，若，则（ ）A B C D3、与函数的图象相同的函数是（ ）A B C D 4、设等差数列的前项和为,若,则当取最小值时,等于（ ）A9 B8 C7 D65、设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则6、已知，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件7、若，则（ ）A B C D8、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A24 B30 C36 D42 第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。(一）必做题（9-13题）9、如果，那么 10、垂直于直线且与曲线相切的直线方程是 正视图侧视图俯视图11、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即，则函数的值域是 12、如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为 13、观察下列等式: , , , , 由以上等式推测: 对于,若,则 .（二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14、将参数方程（为参数,）化成普通方程为 _ 15、如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，则的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知向量与共线，其中A是的内角。（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求面积S的最大值 17（本小题满分12分）2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：甲系列：动作KD得分100804010概率乙系列：动作KD得分9050200概率 现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX18（本小题满分14分）如图一，平面四边形关于直线对称，把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于对于图二，完成以下各小题：BCDA图2（1）求两点间的距离； CBDA图1（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值19（本小题满分14分）已知函数R, （1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根， 求的值20（本小题满分14分）已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆S的方程；PABCxyOMN（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k若直线PA平分线段MN，求k的值；对任意，求证：21（本小题满分14分）设数列满足：，（1）求，； （）令，求数列的通项公式；（2）已知，求证：执信中学2011-2012学年度第一学期高三级数学理科期末试题答案一、CBAD DACC二、9、； 10、； 11、； 12、； 13、 14、； 15、三、解答题：16、（本题满分12分）解： 17、（本题满分12分）（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列1分理由如下：选择甲系列最高得分为10040140118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为9020110118，不可能获得第一名2分记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P （A），P （B）4分记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得P （C）P （AB）该运动员获得第一名的概率为6分（II）若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，7分则P （X50），P （X70），P （X90），P （X110）9分X的分布列为：X507090110P507090110104 12分18、解：（）取的中点，连接，由，得： 就是二面角的平面角， 2分在中， 4 分 （）由， 6分， 又平面 8分（）方法一：由（）知平面平面平面平面 10分平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角， 12分 14分方法二：设点到平面的距离为， 10分 12分于是与平面所成角的正弦为 14分方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则 10分CBDAEyFzx设平面的法向量为n，则n， n，取，则n， -12分于是与平面所成角的正弦即 14分19、解: 函数的定义域为. . 当, 即时, 得,则. 函数在上单调递增. 2分 当, 即时, 令 得,解得. () 若, 则. , , 函数在上单调递增. 4分 ()若,则时, ; 时, ,函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增. 6分综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; 当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为. 8分(2) 解: 令, 则.令, 得.当时, ; 当时, .函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.当时, 函数取得最大值, 其值为. 10分而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为. 12分 当, 即时, 方程只有一个根. 14分20、解：（1）在直线中令得；令得， 则椭圆方程为（2）,M、N的中点坐标为(，)，所以（3）法一：将直线PA方程代入，解得，记，则，于是，故直线AB方程为代入椭圆方程得，由，因此， 法二：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得： 法二：同理由法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：11用心 爱心