word 北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 word 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（ 1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 （3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积： S平行四边形= 底高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质：（ 1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四 个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（ 1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 word 4、面积： S菱形= 底高； S菱形= 对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质：（ 1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（ 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积： S矩形= 底高 四、正方形 1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2、性质：（ 1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角 形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 3、判定：（ 1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形 = 菱形 + 矩形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 4、面积： S正方形= 边长的平方； S正方形= 对角线乘积的一半 五、中点四边形 word 1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形 2、中点四边形：一般四边形平行四边形；平行四边形平行四边形；菱形矩形；矩形菱形； 正方形正方形。 第二章一元二次方程 一、定义：我们把形如 2 ( , ,)axbxco a b cao为常数，的方程，称为一元二次方程。其中 2 ax，bx， c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 二、解一元二次方程的方法 1、配方法：移项二次项系数化为1配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）开平方（有正 负两个结果）求解写根。 2、公式法：化为一般形式（ 2 axbxco）找出a，b，c（记得带上符号）代入根的判别式 （ 2 4bac）代入求根公式 2 4 2 bbac x a （ 2 40bac）求解写根。 3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。 （1）提公因式法：0acbc()0c ab （2）公式法：平方差公式： 22 ()()abab ab 完全平方公式： 222 2()aabbab （3）十字相乘法： 2 ()()()xpq xpqxp xq 三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程 2 ()axbxco ao （1）当 2 40bac时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当 2 40bac时，方程有两个相等的实数根。 （3）当 2 40bac时，方程没有实数根。 四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理） 如果方程 2 ()axbxco ao有两个实数根 1 x， 2 x，那么 12 b xx a ， 12 c x x a 五、应用一元二次方程（1、几何面积问题； 2、销售问题） 审题寻找数量关系和等量关系设未知数（直接假设和间接假设）列一元二次方程解方程 word 检验作答。 第三章概率的进一步认识 一、列表法和化树状图法 1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能 的结果，通常采用列表法。 2、画树状图法：当一次实验涉及3 个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通常采用画树状图法。 二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A 发成的频率 m n 稳定于某个常数P ，那么事 件 A 发生的概率P AP word 第四章图形的相似 一、成比例线段 1、定义：四条线段, , ,a b c d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ac bd ，那么这四条线段, , ,a b c d叫 做成比例线段，简称比例线段。 2、性质：（ 1）基本性质：如果 ac bd ，那么adbc； 如果adbc , , ,0a b c d都不等于 ，那么 ac bd （2）等比性质：如果=0 acm bdn bdn ，那么 acma bdnb （3）合比性质：如果 ac bd ，那么 abcd bd ， abcd bd 二、平行线分线段成比例 1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 三、相似多边形 1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比 2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 四、相似三角形 1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2、判定：（ 1）两角分别相等的两个三角形相似 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 word （3）三边成比例的两个三角形相似 3、性质：（ 1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 五、黄金分割：点C把线段 AB 分成两条线段AC和BCACBC，如果 ACBC ABAC ，那么称线段 AB 被点C黄金分割，点C叫做线段 AB 的黄金分割点，AC与 AB 的比叫做黄金比， 即:0.618:1ACAB 六、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P , P 所在的直线都经过同一点O，且有OP= 0k OP k，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤：（ 1）尺规作图法：确定位似中心；确定原图形中的关键点关于中心的对应点；描 出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同 一个数0k k，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它 们的相似比为 k word 第五章投影与视图 一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平 面叫做投影面 1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下 形成的影子就是中心投影 2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影 二、三视图 1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图 2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高 （2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽 （3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽 3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正 （2）主视图和左视图的高平齐 （3）左视图和俯视图的宽相等 word 第六章反比例函数 一、定义：一般的，形如0 k ykk x 为常数，的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y 是函数。 自变量 x的取值范围是不等于 0 的一切实数 二、表达式：1、 k y x ； 2 、 1 ykx； 3 、xyk 三、图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 3、反比例函数比例系数k的几何意义 如图，在反比例函数 k y x 上任取一点 ,P x y ，过这一点分别作x轴， y 轴 的垂线 PE ， PF 与坐标轴围成的矩形PEOF的面积Sxyk 4、对称性：（ 1）中心对称，对称中心是坐标原点 函数k图象所在象限增减性 k y x 0kk为常数， 0k 第一、 三象限 , x y同号 在同一象限内，y 随x的增大而减小 0k 第二、 四象限 ,x y异号 在同一象限内，y 随x的增大而增大 k越大，函数图象越远离坐标原点 word （2）轴对称：对称轴为直线yx 和直线 yx 第七章直角三角形的边角关系 一、锐角三角函数 在Rt ABC中，90C，则A 的三角函数为 二、特殊角的三角函数值 三角函数304560 1 三、解直角三角形 1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：90AB （2）三边关系： 222 abc（勾股定理） （3）边角关系：sincos a AB c ，cossin b AB c tan a A b ，tan b B a sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 3 定义表达式取值范围关系 正弦 ( A为锐角 ) 余弦 ( A为锐角 ) 正切 ( A为锐角 ) 1 tan tan A B 斜边 的对边A Asin c a Asin 1sin0A BAcossin BAsincos 1cossin 22 AA 斜边 的邻边A Acos c b Acos 1cos0A 的邻边 的对边 A tan A A b a Atan 0tan A 对 边 邻边 b 斜边 A C B b a c word 2、解直角三角形的类型和解法 第八章二次函数 一、概念：一般的，若两个变量x， y 之间的对应关系可以表示成 2 , ,yaxbxc a b cao是常数 的形式，则称y 是x的二次函数，其中， x是自变量， , ,a b c分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和常数项 二、二次函数图象及其性质 1、图像与性质 已知条件图形解法 已知一直角边和一个锐角 ,aA 22 90, sintan aa BA cbbca AA 或 已知斜边和一个锐角 , c A 22 90,sin,cosBA acA bcAbca或 已知两直角边, a b 22 ,tan,90 a cabAABA b 由求 已知斜边和一条直角边 , c a 22 ,sin,90 a bcaAABA c 由求 函数 2 , ,0ya xhk a h ka为常数 2 , ,yaxbxc a b cao是常数 图象 0a0a0a0a 性 质 开口 方向 开口向上开口向下开口向上开口向下 对称轴直线xh直线 2 b x a 增减性 当xh时， y 随的 x增大而减小； 当xh时， y 随x 的增大而增大 当xh时， y 随x 的增大而增大； 当xh时， y 随的 x增大而减小； 当 2 b x a 时， y 随 的x增大而减小； 当 2 b x a 时， y 随 x的增大而增大 当 2 b x a 时， y 随 x的增大而增大； 当 2 b x a 时， y 随 的