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第五章 平面向量网络体系总览考点目标定位1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.复习方略指南向量是数学中的重要概念,它广泛应用于生产实践和科学研究中,其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出,主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用,“平面向量”将会成为命题的热点,一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有:(1)与“定比分点”有关的试题;(2)平面向量的加减法运算及其几何意义;(3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算,用向量的知识解决几何问题;(4)正、余弦定理的应用.复习本章时要注意:(1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量.(2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础.(3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直.(4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满足结合律.(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.(6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积知识梳理1.平面向量的有关概念:(1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,或用,表示.(3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或|.(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.(5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.(6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法:(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).3.向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.4.实数与向量的积:(1)定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,规定:|a|=|a|.当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a与a平行.(2)运算律:(a)=()a,(+)a=a+a,(a+b)=a+b.5.两个重要定理:(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=a,即bab=a(a0).(2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.点击双基1.(2004年天津,理3)若平面向量b与向量a=(1,2)的夹角是180,且|b|=3,则b等于A.(3,6)B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)解析:易知a与b方向相反,可设b=(,2)(0).又|b|=3=,解之得=3或=3(舍去).b=(3,6).答案:A2.(2004年浙江,文4)已知向量a=(3,4),b=(sin,cos),且ab,则tan等于A.B.C.D.解析:由ab,3cos=4sin.tan=.答案:A3.若ABCD为正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则等于A.b+aB.baC.a+bD.ab解析:=+=+=ba.答案:B4.e1、e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于A.0B.1C.2D.1解析:a与b共线存在实数m,使a=mb,即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线,k=1.答案:D5.若a=“向东走8 km”,b=“向北走8 km”,则a+b|=_,a+b的方向是_.解析:|a+b|=8(km).答案:8 km 东北方向典例剖析【例1】 已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|ab|=2,则|a+b|等于A.1B.C.D.剖析:欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.解法一:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x12+y12=1,x22+y22=4,ab=(x1x2,y1y2),(x1x2)2+(y1y2)2=4.x122x1x2+x22+y122y1y2+y22=4.12x1x22y1y2=0.2x1x2+2y1y2=1.(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.|a+b|=.解法二:|a+b|2+|ab|2=2(|a|2+|b|2),|a+b|2=2(|a|2+|b|2)|ab|2=2(1+4)22=6.|a+b|=.故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】 如图,G是ABC的重心,求证:+=0.剖析:要证+=0,只需证+=,即只需证+与互为相反的向量.证明:以向量、为邻边作平行四边形GBEC,则+=2.又由G为ABC的重心知=2,从而=2.+=2+2=0.评述:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义,能进一步加深对“向量”的认识,并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】 设、不共线,点P在AB上,求证:=+且+=1,、R.剖析:点P在AB上,可知与共线,得=t.再用以O为起点的向量表示.证明:P在AB上,与共线.=t.=t().=+tt=(1t)+t.设1t=,t=,则=+且+=1,、R.评述:本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.深化拓展本题也可变为,不共线,若=+,且+=1,R,R,求证:A、B、P三点共线.提示:证明与共线.当=时,=(+),此时P为AB的中点,这是向量的中点公式.【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量(tR).(1)若a与b起点相同,t为何值时,a、tb、(a+b)三向量的终点在一直线上?(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60,那么t为何值时,|atb|的值最小?解:(1)设atb=ma(a+b)(mR),化简得(1)a=(t)b.a与b不共线,t=时,a、tb、(a+b)的终点在一直线上.(2)|atb|2=(atb)2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60=(1+t2t)|a|2,t=时,|atb|有最小值|a|.评述:用两个向量共线的充要条件,可解决平面几何中的平行问题或共线问题.思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?闯关训练夯实基础1.(2004年广东,1)已知平面向量a=(3,1),b=(x,3)且ab,则x等于A.3B.1C.1D.3解析:由ab,则3x3=0,x=1.答案:B2.若a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则有A.ab且a、b方向相同B.a=bC.a=bD.以上都不对解析:a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,ab且方向相同.答案:A3.在四边形ABCD中,等于A.B.C.D.解析:=+=.答案:C4.设四边形ABCD中,有=且|=|,则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析:=,DCAB,且DCAB.又|=|,四边形为等腰梯形.答案:C5.l1、l2是不共线向量,且a=l1+3l2,b=4l1+2l2,c=3l1+12l2,若b、c为一组基底,求向量a.解:设a=1b+2c,即l1+3l2=1(4l1+2l2)+2(3l1+12l2),即l1+3l2=(4132)l1+(21+122)l2,解得1=,2=,故a=b+c.6.设两向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解:e12=4,e22=1,e1e2=21cos60=1,(2te1+7e2)(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1e2+7te22=2t2+15t+7.2t2+15t+70.7t.设2te1+7e2=(e1+te2)(0)2t2=7t=,=.当t=时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为.t的取值范围是(7,)(,).思考讨论向量a、b的夹角为钝角,则cosa,b0,它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a=2e13e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e19e2.问是否存在这样的实数、,使向量d=a+b与c共线?解:d=(2e13e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(3+3)e2,要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,即(2+2)e1+(3+3)e2=2ke19ke2,由得=2.故存在这样的实数、,只要=2,就能使d与c共线.8.如图所示,D、E是ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和.解:由三角形中位线定理,知DEBC.故=,即=a.=+=a+b+a=a+b,=+=+=a+ab=ab.探究创新9.在ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM交于点E,=a,=b,用a、b表示.解:由已知得=,=.设=,R,则=+=+.而=,=+()=+().=()+.同理,设=t,tR,则=+=+t=+t()=+t().=()+t.()+=()+t.由与是不共线向量,得解得=+,即=a+b.评述:此题所涉及的量较多,且向量与向量之间的关系较为复杂,因此对学生来说确有一定困
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