21 （本小题满分12 分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆 柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元， 半球形部分每平方米建造费用为千元， 设该容器 的建造费用为千元 （）写出关于的函数表达式， 并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小时的 22 （本小题满分14 分）已知动直线与椭圆 C: 交于 P、Q两 不同点，且 OPQ的面积=,其中 O 为坐标原点 . （）证明和均为定值 ;（）设线段 PQ 的中点为M，求的 最大值；（）椭圆 C 上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判 断DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 21解：（I）设容器的容积为V， 由题意知 23 480 , 33 Vr lrV又 故 3 222 4 8044 20 3 () 333 Vr lrr rrr 由于2lr 因此02.r 所以建造费用 22 2 4 20 2342()34, 3 yrlr crrr c r 因此 2160 4 (2),02.ycrr r （II）由（ I）得 3 22 1608 (2)20 8 (2)(),02. 2 c ycrrr rrc 由于3,20,cc所以 80 3 2lr (3)c c y yr r l 22 1 32 xy 11 ,x y 22 ,xy OPQ S 6 2 22 12 xx 22 12 yy| |OMPQ 6 2 ODEODGOEG SSS 当 3 3 2020 0,. 22 rr cc 时 令 3 20 , 2 m c 则0m 所以 22 2 8 (2) ()(). c yrm rrmm r （1）当 9 02 2 mc即时， 当r=m时,y=0; 当r(0,m) 时,y0. 所以rm是函数 y 的极小值点，也是最小值点。 （2）当2m即 9 3 2 c时， 当(0,2),0,ry时函数单调递减， 所以 r=2 是函数 y 的最小值点， 综上所述，当 9 3 2 c时，建造费用最小时2;r 当 9 2 c时，建造费用最小时 3 20 . 2 r c 22 （I）解： （1）当直线l的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称， 所以 2121 ,.xxyy 因为 11 (,)P x y在椭圆上， 因此 22 11 1 32 xy 又因为 6 , 2 OPQ S 所以 11 6 | |. 2 xy 由、得 11 6 |,| 1. 2 xy 此时 2222 1212 3,2,xxyy （2）当直线 l的斜率存在时，设直线l的方程为,ykxm 由题意知m0，将其代入 22 1 32 xy ，得 222 (23)63(2)0kxkmxm， 其中 2222 3612(23)(2)0,k mkm 即 22 32km（ * ） 又 2 1212 22 63(2) , 2323 kmm xxx x kk 所以 22 222 12122 2 632 |1()41, 23 km PQkxxx xk k 因为点 O 到直线l的距离为 2 | 1, m d k 所以 1 | 2 OPQ SPQd 22 2 2 2 12 6 32| 1 223 1 kmm k k k 22 2 6 |32 23 mkm k 又 6 , 2 OPQ S 整理得 22 322,km且符合（ *）式， 此时 2 2222 121212 22 63(2) ()2()23, 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 (3)(3)4()2. 333 yyxxxx 综上所述， 2222 1212 3;2,xxyy结论成立。 （II）解法一： （1）当直线l的斜率存在时， 由（ I）知 11 6 | |,|2 |2, 2 OMxPQy 因此 6 | |26. 2 OMPQ （2）当直线 l的斜率存在时，由（ I）知 12 3 , 22 xxk m 222 1212 22 222 1212 2222 222 22 2222 332 (), 2222 916211 |()()(3), 22442 24(32)2(21)1 |(1)2(2), (23) yyxxkkm kmm mmm xxyykm OM mmmm kmm PQk kmm 所以 22 22 111 |(3)2(2) 2 OMPQ mm 22 22 2 11 (3)(2) 11 32 25 (). 24 mm mm 所以 5 | | 2 OMPQ，当且仅当 22 11 32,2m mm 即时，等号成立. 综合（ 1） （2）得 |OM| |PQ|的最大值为 5 . 2 解法二： 因为 222222 121221214 |()()()()OMPQxxyyxxyy 2222 1212 2()() 10. xxyy 所以 22 4 |10 2 | |5. 25 OMPQ OMPQ 即 5 | |, 2 OMPQ当且仅当2 | |5OMPQ时等号成立。 因此|OM|PQ|的最大值为 5 . 2 （III ）椭圆 C 上不存在三点D，E，G，使得 6 . 2 ODEODGOEG SSS 证明：假设存在 1122 6 ( , ),(,),(,) 2 ODEODGOEG D u vE xyG xySSS满足， 由（ I）得 222222222222 12121212 222222 1212 1212 3,3,3;2,2,2, 3 ;1. 2 5 , ,1, 2 uxuxxxvyvyyy uxxvyy u xxv yy 解得 因此只能从中选取只能从中选取 因此 D，E，G 只能在 6 (, 1) 2 这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 6 2 ODEODGOEG SSS矛盾，所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D，E，G. （21） （本小题满分13 分） 在平面直角坐标系xOy 中， F 是抛物线C：x 2=2py（p 0）的焦点， M 是抛物线 C 上位于 第一象限内的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为Q，点 Q 到抛物线C 的准线的距离 为 3 4 。 （）求抛物线C 的方程； （）是否存在点M，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M？若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，说明理由； （）若点M 的横坐标为2，直线l：y=kx+ 1 4 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，l 与圆 Q 有两个不同的交点D，E，求当 1 2 k2 时，的最小值。 22(本小题满分13 分) 已知函数f(x) = x e kxln （k 为常数， e=2.71828是自然对数的底数），曲线 y= f(x) 在点 （1，f(1) ）处的切线与x 轴平行。 （）求k 的值； （）求f(x) 的单调区间； （） 设 g(x)=(x 2+x) ( )fx,其中( )fx为 f(x) 的导函数，证明：对任意 x0， 2 1)(exg。 （21） （本小题满分13 分） 解析： （）F 抛物线 C： x 2=2py（p0） 的焦点 F ) 2 ,0( p ， 设 M )0)( 2 ,( 0 2 0 0 x p x x，),(baQ， 由题意可知 4 p b，则点 Q 到抛物线C 的准线的距离为p ppp b 4 3 242 3 4 ，解得 1p，于是抛物线C 的方程为yx2 2 . （）假设存在点M，使得直线MQ 与抛物线 C 相切于点M， 而) 2 ,(),0 ,0(), 2 1 ,0( 2 0 0 x xMOF，) 4 1 ,(aQ，QFOQMQ， 16 1 ) 4 1 2 ()( 22 2 02 0 a x ax， 0 3 0 8 3 8 x x a， 由yx2 2 可得xy， 0 3 0 2 0 0 8 3 8 24 1 x x x xk，则 2 0 2 0 4 0 2 1 4 1 8 3 8 1 xxx， 即02 2 0 4 0 xx，解得1 0 x，点 M 的坐标为) 2 1 , 1(. （）若点M 的横坐标为2，则点 M)1 ,2(，) 4 1 , 8 2 (Q。 由 4 1 2 2 kxy yx 可得0 2 1 2 2 kxx，设),(),( 2211 yxByxA， 4)(1( 21 2 21 2 2 xxxxkAB)24)(1( 22 kk 圆 32 3 16 1 64 2 ) 2 1 () 8 2 (: 22 yxQ， 22 18 2 1 8 2 k k k k D )1(8 23 )1 (3232 3 4 2 2 2 2 2 k k k k DE， 于是 )1(8 23 )24)(1 ( 2 2 22 22 k k kkDEAB，令5 , 4 5 1 2 tk 4 1 8 1 24 8 12 )24( )1(8 23 )24)(1( 2 2 2 22 22 t tt t t tt k k kkDEAB， 设 4 1 8 1 24)( 2 t tttg， 2 8 1 28)( t ttg， 当5 , 4 5 t时，0 8 1 28)( 2 t ttg， 即当 2 1 , 4 5 kt时 10 1 4 4 1 4 5 8 1 4 5 2 16 25 4)( min tg. 故当 2 1 k时， 10 1 4)( min 22 DEAB. 22(本小题满分13 分) 解析：由 f(x) = x e kxln 可得)(xf x e xk x ln 1 ， 而0)1(f， 即0 1 e k ， 解得1k； （）)(xf x e x x ln1 1 ，令0)(xf可得1x， 当10 x时，0ln1 1 )(x x xf；当1x时，0ln1 1 )(x x xf。 于是)(xf在区间)1 ,0(内为增函数；在), 1(内为减函数。 简证（） xx e xxxx e x x xxxg ln)(1 ln1 1 )()( 22 2 ， 当1x时，0,0,0ln,01 22x exxxx， 2 10)(exg. 当10 x时，要证 2 22 2 1 ln)(1 ln1 1 )()(e e xxxx e x x xxxg xx 。 只需证 222 1()ln(1) x xxxxee，然后构造函数即可证明。 21、 （本小题满分13 分） 设函数 2 ( ) x x f xc e （2.71828 e是自然对数的底数，cR） （）求( )f x的单调区间、最大值； （）讨论关于x的方程ln( )xf x根的个数。 22、 （本小题满分13 分） 椭圆 22 22 :1 (0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 12 ,FF，离心率为 3 2 ，过 1 F且垂直 于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. （）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 12 ,PFPF。 设 12 F PF的角平分线PM 交C的长轴于点(,0)M m，求m的取值范围； （）在（）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共 点。设直线 12 ,PFPF的斜率分别为 12 ,kk，若0k，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求出这 个定值 . 21、解：（） 2 ( )(12 ) x fxx e， 由( )0fx，解得 1 2 x， 当 1 2 x时，( )0fx，( )f x单调递增； 当 1 2 x时，( )0fx，( )f x单调递减 . 所以，函数( )f x的单调递增区间是 1 (,) 2 ，单调递减区间是 1 ( ,) 2 ， 最大值为 1 11 ( ) 22 fec. （）令 2 ( )ln( )ln,(0,) x g xxf xxxecx. （1） 当(1,)x时， ln0 x ，则 2 ( )ln x g xxxec， 所以 2 2 ( )(21) x x