必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 第一章第一章 解三角形解三角形 1.1.正弦定理：正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 （其中 R 是三角形外接圆的半径）R C c B b A a 2 sinsinsin 2.变形：1） sinsinsinsinsinsin abcabc CC AA 2）化边为角： CBAcbasin:sin:sin: ； ; sin sin B A b a ; sin sin C B c b ; sin sin C A c a 3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin2 4）化角为边： ; sin sin b a B A ; sin sin c b C B ; sin sin c a C A 5）化角为边： R c C R b B R a A 2 sin, 2 sin, 2 sin 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； 例：已知角 B,C,a， 解法：由 A+B+C=180o ，求角 A,由正弦定理 ; sin sin B A b a ; sin sin C B c b 求出 b 与 c; sin sin C A c a 已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边 a,b,A, 解法：由正弦定理求出角 B,由 A+B+C=180o 求出角 C，再使用 B A b a sin sin 正弦定理求出 c 边 C A c a sin sin 4.ABC 中，已知锐角 A，边 b，则 时，B 无解；Abasin 或时，B 有一个解；Abasinba 时，B 有两个解。baAbsin 如：已知,求(有一个解)32, 2,60 baAB 已知,求(有两个解)32, 2,60 abAB Absin A b 必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二二. .三角形面积三角形面积 1.BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2. ,其中 是三角形内切圆半径.rcbaS ABC )( 2 1 r 3. , 其中,)()(cpbpappS ABC )( 2 1 cbap 4. ,R 为外接圆半径 R abc S ABC 4 5.,R 为外接圆半径CBARS ABC sinsinsin2 2 三三. .余弦定理余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的 2 倍，即 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 2.变形： bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 注意整体代入，如： 2 1 cos 222 Bacbca 3利用余弦定理判断三角形形状： 设、 是的角、的对边，则：abcCAAC 若，所以为锐角 若为直角Aabc 222 若， 所以为钝角，则 必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 是钝角三角形 4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 四、应用题四、应用题 1.已知两角和一边（如A、B、C） ，由A+B+C = 求C，由正弦定理求 a、b 2.已知两边和夹角（如a、b、c） ，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角 3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A） ，应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情 况 4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C 5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方 向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角） ，通常表达成.正北或正南，北偏东度 ， 北偏西度，南偏东度，南偏西度. 6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 5 5、三角形中常见的结论三角形中常见的结论 1）三角形三角关系：A+B+C=180；C=180(A+B)； 2）三角形三边关系： 两边之和大于第三边：，； 两边之差小于第三边：，； 3）在同一个三角形中大边对大角：BAbaBAsinsin 4) 三角形内的诱导公式： sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 ) 2 sin( ) 2 cos( ) 22 cos( ) 22 sin( ) 22 tan( 2 tan C C C C CBA 5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin cos cos sin . (2)cos()cos cos sin sin . (3)tan(). tan tan 1 tan tan 6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3) 2 2cos1 cos; 2 2cos1 sin 22 (4)tan 2. 2tan 1tan2 7) 三角形的五心： 垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点