1 等差数列 一等差数列知识点：一等差数列知识点： 知知识识点点 1、等差数列的定、等差数列的定义义: 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 知知识识点点 2、等差数列的判定方法、等差数列的判定方法: 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n adaa nn 1 n a 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n a 21 2 nnn aaa n a 知知识识点点 3、 、 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头等差数列的通 等差数列的通项项公式公式: 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为 n a 1 ad 该公式整理后是关于 n 的一次函数 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 dnaan) 1( 1 知知识识点点 4、等差数列的前、等差数列的前 n 项项和和: 2 )( 1n n aan S d nn naSn 2 ) 1( 1 对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 知知识识点点 5、 、 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头等差中 等差中项项: 如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头即： 或aAbAab 2 ba A baA2 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与 后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 知知识识点点 6、等差数列的性、等差数列的性质质: 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项， n an m am 且，公差为，则有nm ddmnaa mn )( 对于等差数列，若，则 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n aqpmn qpmn aaaa 也就是： 23121nnn aaaaaa 若数列是等差数列，是其前 n 项的和，那么，成 n a n S * Nk k S kk SS 2kk SS 23 等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头如下图所示： k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 10、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且n * 2n n 21nnn Sn aa ，若项数为，则，且， SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 * 21nn 21 21 nn Sna n SSa 奇偶 （其中，） 1 Sn Sn 奇 偶 n Sna 奇 1 n Sna 偶 二、题型选析：二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2在数列an中，a1=2，2an+1=2an+1，则 a101的值为 （） A49 B50 C51 D52 3等差数列 1，1，3，89 的项数是（ ） 2 A92 B47 C46 D45 4、已知等差数列中，的值是( ) n a 12497 , 1,16aaaa则 ( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A.d B.d3 C. d3 D.d3 3 8 3 8 3 8 6、.在数列中，且对任意大于 1 的正整数 ，点在直 上， n a3 1 an),( 1nn aa03 yx 则=_. n a 7、在等差数列an中，a53，a62，则 a4a5a10 8、等差数列的前项和为，若（ ） n an n S则 432 , 3, 1Saa （A）12（B）10（C C）8（D）6 9、设数列的首项，则_. n a)Nn( 2aa , 7 a n1n1 且满足 1721 aaa 10、已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = _ 11、已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn= . 12、设为等差数列的前 n 项和，14，则. n S n a 4 S30SS 710 9 S 题型二、等差数列性质题型二、等差数列性质 1、已知an为等差数列，a2+a8=12,则 a5等于（ ） (A)4 (B)5(C)6(D)7 2、设是等差数列的前项和，若，则（ ） n S n an 7 35S 4 a A B C D8765 3、 若等差数列中，则 n a 3710114 8,4,aaaaa 7 _.a 4、记等差数列的前 n 项和为，若，则该数列的公差 d=（ ） n a n S4 2 S20 4 S A7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列中，已知，则 n 为（ ） n a 3 1 a14aa 52 33an （A）48 （B）49 （C）50 （D）51 6.、等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设 Sn是等差数列的前 n 项和，若（ ） n a 5 9 3 5 , 9 5 S S a a 则 A1 B1 C2 D 2 1 8、已知等差数列an满足 1231010 则有( ) A11010 B21000 C3990 D5151 9、如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则( ) 1 a 2 a 8 a0d （A） （B） （C）+ （D）= 1 a 8 a 45 a a 8 a 1 a 45 a a 1 a 8 a 4 a 5 a 1 a 8 a 45 a a 10、若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和 为 390，则这个数列有（ ） （A）13 项 （B）12 项 （C）11 项 （D）10 项 题型三、等差数列前题型三、等差数列前 n n 项和项和 1、等差数列中，已知，则其前项和 n a 12310 aaaap 98nnn aaaq n n S 2、等差数列的前 n 项和为 （ ）, 4 , 1 , 2 3 A. B. C. D. 43 2 1 nn73 2 1 nn43 2 1 nn73 2 1 nn 3、已知等差数列满足，则 （ ） n a0 99321 aaaa A. B. C. D. 来源:学科网 ZXXK0 991 aa0 991 aa0 991 aa50 50 a 4、在等差数列中， n a78,15 21321 nnn aaaaaa155 n S 则 。n 5、等差数列的前 n 项和为，若（ ） n a n S 246 2,10,SSS则等于 A12 B18 C24 D42 6、若等差数列共有项，且奇数项的和为 44，偶数项的和为 33，12 n * Nn 则项数为 （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7、 设等差数列的前项和为，若，则 n an n S 3 9S 6 36S 789 aaa 8、 若两个等差数列和的前项和分别是，已知，则等于（） n a n bn nn ST， 7 3 n n Sn Tn 5 5 a b 7 2 3 27 8 21 4 题型四、等差数列综合题精选题型四、等差数列综合题精选 1、等差数列的前 n 项和记为 Sn.已知 n a.50,30 2010 aa （）求通项； （）若 Sn=242，求 n. n a 2、已知数列是一个等差数列，且，。 n a 2 1a 5 5a （1）求的通项；（2）求前 n 项和的最大值。 n a n a n a n S 3、设为等差数列，为数列的前项和，已知， n a n S n an7 7 S ，为数列的前项和，求。75 15 S n T n Sn n n T 4、已知是等差数列，；也是等差数列， n a2 1 a18 3 a n b4a 22 b 。 3214321 aaabbbb （1）求数列的通项公式及前项和的公式； n bn n S （2）数列与是否有相同的项？ 若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，请说明理由。 n a n b 5 5、设等差数列an的首项 a1及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn. ()若 a11=0,S14=98,求数列an的通项公式； ()若 a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式. 4 6、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前 n 项和为( )yf x ( ) 62fxx n a ，点均在函数的图像上。 ()求数列的通项公式； n S( ,)() n n SnN ( )yf x n a ()设,是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最小正整数 m； 1nn n aa 3 b n T n b 20 n m T nN 五、等差数列习题精选 1、等差数列的前三项依次为，则它的第 5 项为（ ） n ax12 x24 x A、 B、 C、5 D、4 55 x12 x 2、设等差数列中，,则的值等于（ ） n a17, 5 94 aa 14 a A、11 B、22 C、29 D、12 3、设是公差为正数的等差数列，若， n a 123 15aaa 123 80a a a 则( ) 111213 aaa A B C D1201059075 4、若等差数列的公差，则 （ ） n a0d （A） （B） 5362 aaaa 5362 aaaa （C） （D） 与的大小不确定 5362 aaaa 62a a 53a a 5、 已知满足，对一切自然数均有，且恒成立，则实数的取值范围 n an 1nn aa 2 n ann 是（