快乐每一天，收获多一点。 等比数列及其前等比数列及其前项和项和n 教学目标：教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前项和；性质。n 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关 的简单问题。 知识回顾：知识回顾： 1定义：定义： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这2 个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。用递推q 公式表示为或。注意：等比数列的公比和首项都不为零。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明)2( 1 nq a a n n q a a n n 1 数列是等比数列的关键） 2通项公式：通项公式： 等比数列的通项为：。推广： 1 1 n n qaa mn mn qaa 3中项：中项： 如果，成等比数列，那么叫做与的等比中项；其中。aGbGababG 2 4等比数列的前等比数列的前 n 项和公式项和公式 ) 1( 1 )1 ( ) 1( 1 1 q q qa qna S n n 5等等比比数列项的性质数列项的性质 （1）在等比数列中，若，且，则；特别 n amnpqNmnpq qpnm aaaa 的，若，且，则。mpqNqpm2 qpm aaa 2 （2）除特殊情况外，也成等比数列。,., 232nnnnn SSSSS n qq （其中特殊情况是当 q=-1 且 n 为偶数时候此时=0，但是当 n 为奇数是是成立的）。 n S 4 4、证明等比数列的方法、证明等比数列的方法 （1）证：（常数）；（2）证：（）.q a a n n 1 11 2 nnn aaa2n 快乐每一天，收获多一点。 考点分析考点分析 考点一：等比数列基本量计算考点一：等比数列基本量计算 例 1、已知 为等比数列，Sn是它的前 n 项和。若 231 2aaa， 且 4 a与 2 7 a的等差中 n a 项为 5 4 ，求 5 S 。 例 2、成等差数列的三项正数的和等于 15，且这三个数加上 2、5、13 后成等比数列 中的。 n b 543 ,bbb （1）求数列的通项公式； n b （2）求数列的前和为。 n bn n S 练习：1、设是有正数组成的等比数列， n S为其前 n 项和。已知, 3 7S ,则 n a1 42 aa 5 S A B C D 2 15 4 31 4 33 2 17 2、在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_. 3、已知正项数列an为等比数列，且 5a2是a4与 3a3的等差中项，若a22，则该数列的 前 5 项的和为() A. B31 C. D以上都不正确 33 12 31 4 4、设an是首项为a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比 数列，则a1的值为_ 5、（4）、已知 n a是首项为 1 的等比数列，是 n a的前 n 项和，且，则数 n S 63 9SS 列 1 n a 的前 5 项和为（ ）。 快乐每一天，收获多一点。 A15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D15 8 考点二：等比数列性质应用考点二：等比数列性质应用 例 2、设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，则公比q A3 B4 C5 D6 练习：1、在等比数列 n a中， 20102007 8aa，则公比 q 的值为 A2 B3 C4 D8 例 3、等比数列满足：，且公比 n a11 61 aa 9 32 43 aa 1 , 0q （1）数列的通项公式； n a （2）若该数列的前 n 项和，求 n 的值。21 n S 练习：1、已知正项等比数列满足，则 。 n a 2 593 2aaa2 2 a 1 a 2、已知等比数列满足，则 。 n a 2 593 2aaa2 2 a 1 a 3、已知等比数列满足，则_。 n a18, 2 51 aa 432 aaa 4、在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则 a4a8_. 例 4、等比数列满足，nN N*，且，则当时， n a0 n a4 73 aa1n . 92322212 log.logloglogaaaa 例 5、等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_. S10 S5 31 32 练习：1、已知正项等比数列满足，则_。 n a5 321 aaa10 987 aaa 654 aaa 2、在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_. 快乐每一天，收获多一点。 例 6、设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3_. 练习：1、设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.3 3 6 S S 6 9 S S 考点三：等比数列的证明考点三：等比数列的证明 例 7、（2017 成都市高三一诊）已知数列满足。 n a42, 2 11 nn aaa （1）证明数列是等比数列。4 n a （2）求数列的前 n 项和。 n a n S 练习：1、已知数列满足，数列满足。证明数列 n a12, 3 11 naaa nn n bnab nn 为等比数列。 n b 2、已知数列满足，数列满足。证明数列为等比 n a nnn aaa2 2 1 n b) 1(lg nn ab n b 数列。 3、在数列中，。求证：数列为等比数列。 n a * 11 , 2 1 , 2 1 Nna n n aa nn n an 例 8、已知，数列满足：且 ) 1(4,) 1( 2 xxgxxf n a1, 2 1 n aa 。证明：数列是等比数列。)( )()() * 1 Nnafagaa nnnn （1 n a 练习 1、已知函数，数列满足， 2 12 )( x x xf n a), 2( 1 Rttta)( 1 Nnafa nn 快乐每一天，收获多一点。 （1）若数列是常数列，求 ； n at （2）当时，记，证明：数列是等比数列，并求出数列2 1 a)( 1 1 Nn a a b n n n n b 的通项公式。 n a 例 9、已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 练习：1、设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 例 10、已知数列的首项，证明：数列是等比数列。 n a 1 2 3 a 1 2 1 n n n a a a * nN 1 1 n a 小结与拓展：小结与拓展： （1）定义法：（ Nn，是常数）是等比数列；q a a n n 1 q n a （2）中项法： ( Nn)是等差数列。 2 2 1 nnn aaa n a 考点四：等差、等比数列的综合应用考点四：等差、等比数列的综合应用 例 11、在等差数列中， n a50,30 2010 aa 快乐每一天，收获多一点。 (1)求数列的通项公式； n a (2)令，证明：数列为等比数列；102 nn ab n b 练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列， 如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等 比数列。 例 12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股 东们分红 500 万元该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元 (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元 习题习题 15.315.3 1、在等比数列中， n a （1） ； 74 , 3,27aqa求 （2）； 32415 , 6,15aaaaa求 （3）已知。qaSa与求 133 , 2 9 , 2 3 快乐每一天，收获多一点。 2、已知为等比数列，求的通项式。 n a 324 20 2, 3 aaa n a 3、已知等比数列满足，数列是等差数列满足则 n a 7113 4aaa n b 77 ba 95 bb 4、设等比数列的公比，前 n 项和为，则（ ） n a2q n S 4 2 S a A B C D24 2 15 2 17 5、设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，则公比q A3 B4 C5 D6 6、设 n S为等比数列的前 n 项和， 25 80aa则 5 2 S S n a A-11 B8 C5 D11 7、设正项等比数列的前 n 项和为，已知， n a n S4 3 a 12 254 2aaa （1）数列的通项公式； n a （2）若该数列的前 n 项和，求 n 的值。1210 n S 8、设 n S为数列的前n项和， 2 n Sknn， * nN，其中k是常数。 n a （1）求 1 a及 n a； （2）若对于任意的 * mN， m a， 2m a， 4m a成等比数列，求k的值 9、在数列an中，a12，an14an3n1，nN N*. (1)证明数列ann是等比数列； (2)求数列an的前n项和Sn. 快乐每一天，收获多一点。 10、（选做题）已知数列，满足：， n a n b 1 a4 3 2 1 naa nn 其中为实数，为正正数。)213() 1(nab n n n n （1）对任意的实数，证明数列不是等比数列； n a （2）试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论。 n b