初中数学定理、公式汇编初中数学定理、公式汇编 代数部分代数部分 一、数与代数 1 数与式 （1）实数 实数的性质： 实数 a 的相反数是a，实数 a 的倒数是（a0） ； a 1 实数 a 的绝对值： )0( )0(0 )0( aa a aa a 正数大于 0，负数小于 0，两个负实数，绝对值大的反而小。 （2）整式与分式 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （m、n 为正整数） ； nmnm aaa 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a0，m、n 为正整数，mn） ； nmnm aaa 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（n 为正整数） ； nnn baab)( 零指数：（a0） ；1 0 a 负整数指数：（a0，n 为正整数） ； n n a a 1 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 ； 22 )(bababa 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它 们的积的 2 倍，即； 222 2)(bababa 分式 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变，即；，其中 m 是不等于零的代数式； mb ma b a mb ma b a 分式的乘法法则：； bd ac d c b a 分式的除法法则：；)0( c bc ad c d b a d c b a 分式的乘方法则：（n 为正整数） ； n n n b a b a )( 同分母分式加减法则：； c ba c b c a 异分母分式加减法则：； bc cdab b d c a 2 方程与不等式 一元二次方程(a0）的求根公式：0 2 cbxax )04( 2 4 2 2 acb a acbb x 一元二次方程根的判别式： 叫做一元二次方程（a0）的根的判别式：acb4 2 0 2 cbxax 方程有两个不相等的实数根；0 方程有两个相等的实数根；0 方程没有实数根；0 一元二次方程根与系数的关系：设、是方程 （a0）的两 1 x 2 x0 2 cbxax 个根，那么+=，=； 1 x 2 x a b 1 x 2 x a c 不等式的基本性质： 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 3 函数 一次函数的图象：函数 y=kx+b(k、b 是常数，k0)的图象是过点（0，b）且与直线 y=kx 平行的一条直线； 一次函数的性质：设 y=kx+b（k0） ，则当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k0，则当 x0 时或 x0 时，y 分别随 x x k y 的增大而减小；如果 k0 时或 x0 时，抛物线开口向上，当 a0 时，如果，则 y 随 x 的增大而减小，如果，则 y 随 a b x 2 a b x 2 x 的增大而增大；当 a0 时，如果，则 y 随 x 的增大而增大，如果， a b x 2 a b x 2 则 y 随 x 的增大而减小； 概率与统计部分概率与统计部分 1统计 数据收集方法、数据的表示方法（统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图） （1）总体与样本 所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部 分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本的容量。 数据的分析与决策（借助所学的统计知识，对所收集到的数据进行整理、分析，在分析 的结果上再作判断和决策） （2）众数与中位数 众数：一组数据中，出现次数最多的数据； 中位数：将一组数据按从大到小依次排列，处在最中间位置的数据。 （3）频率分布直方图 频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图 总数 频数 中各个小长方形的面积为各组频率。 （4）平均数的两个公式 n 个数、, 的平均数为：； 1 x 2 x n x n xxx x n . 21 如果在 n 个数中，出现次、出现次, 出现次，并且+ 1 x 1 f 2 x 2 f k x k f 1 f 2 f =n，则； k f n fxfxfx x kk . 2211 （5）极差、方差与标准差计算公式： 极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到 的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； 方差： 数据、, 的方差为， 1 x 2 x n x 2 s 则= 2 s 22 2 2 1 . 1 xxxxxx n n 标准差： 数据、, 的标准差， 1 x 2 x n xs 则=s 22 2 2 1 . 1 xxxxxx n n 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。 1 概率 如果用 P 表示一个事件发生的概率，则 0P（A）1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发 生的概率。 大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 3. 统计的初步知识、概率在社会生活中有着广泛的应用，能用所学的这些知识解决实际 问题。 几何部分几何部分 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 (HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 ( 即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等（等角对等边） 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这 条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（ n-2 ） 180 51 推论 任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 = 对角线乘积的一半，即 S= （ ab ） 2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分 一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平 分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个 图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直 线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L= （ a+b ） 2 ，S=Lh 83 (1) 比例的基本性质 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc, 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d 84 (2) 合比性质 如果 a b=c d, 那么 (ab) b=(cd) d 8