北师大版北师大版 - 1 - 九年级数学上册知识点归纳（北师大版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章 特殊平行四边形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识 第四章 图形的相似 第五章 投影与视图 第六章 反比例函数 （八下前情回顾）平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻 的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这 个距离称为平行线之间的距离。 北师大版北师大版 - 2 - 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一 组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2 矩形的性质与判定 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形，有两条 对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （正方形是轴对称图形，有两条对称 轴） 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图 3 所示)： 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 北师大版北师大版 - 3 - 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 夹在两条平行线间的平行线段相等。 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角 （或对角线相等） 图 3 北师大版北师大版 - 4 - 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 1 认识一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c 为0 2 cbxax 常数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 把（a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为0 2 cbxax 一次项系数；c 为常数项。 2 用配方法求解一元二次方程 配方法 0)( 2 mx 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式； 将二次项系数化成 1； 把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方； 把方程转化成的形式；0)( 2 mx 两边开方求其根。 3 用公式法求解一元二次方程 公式法 （注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式） a acbb x 2 4 2 4 用因式分解法求解一元二次方程 分解因式法 把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式” 和“十字相乘” ） 5 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：当 b2-4ac0 时，方程有两个不等的实数根； 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2-4ac0 时，方程无实数根。 如果一元二次方程的两根分别为 x1、x2，则有：。0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式： 北师大版北师大版 - 5 - 21 2 21 2 2 2 1 2)(xxxxxx 21 21 21 11 xx xx xx 21 2 21 2 21 4)()(xxxxxx 21 2 2121 4)(|xxxxxx|22)(|)|(| 2121 2 21 2 21 xxxxxxxx 其他能用或表达的代数式。)(3)( 2121 3 21 3 2 3 1 xxxxxxxx 21 xx 21x x （3）已知方程的两根 x1、x2，可以构造一元二次方程：0)( 212 2 1 xxxxxx （4）已知两数 x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根0)( 212 2 1 xxxxxx 6 应用一元二次方程 在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题 为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ；寻找等量关系（一般地，题目中会 含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程） 。 处理问题的过程可以进一步概括为： 解答 检验 求解 方程 抽象 分析 问题 北师大版北师大版 - 6 - 第三章第三章 概率的进一步认识概率的进一步认识 用树状图或表格求概率 相关知识点链接： 频数与频率 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。 必然事件发生的概率为 1；不可能事件发生的概率为 0；不确定事件发生的概率在 0 与 1 之间。 【知识点 1】频率与概率的含义 在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数 与总次数的比值为频率，即 频数 频率 总次数 把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件 A 发生的概率。 【知识点 2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。 我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。 【知识点 3】利用画树状图或列表法求概率（重难点） 第四章第四章 图形的相似图形的相似 北师大版北师大版 - 7 - 1 成比例线段 一. 线段的比 1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、n,那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n ,或写成. n m B A 2. 四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即,那么这四条线段 a、b、c、d d c b a 叫做成比例线段,简称比例线段. 3. 注意点: a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍; 由于线段a、b 的长度都是正数,所以 k 是正数; 比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; 除了 a=b 之外,a:bb:a, 与互为倒数; b a a b 比例的基本性质:若, 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则 d c b a d c b a 2 平行线分线段成比例 1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图 2, l1 / l2 / l3,则. EF BC DE AB 二. 黄金分割 1. 如图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C AC BC AB AC 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比. 1:618. 0 2 15 : ABAC 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 3 相似多边形 1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. 2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形. 2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. 3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一 样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. _ 图 1 _ B_ C_ A _ 图 2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l_ 3 _ l_ 2 _ l_ 1 北师大版北师大版 - 8 - 4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 5. 相似三角形周长的比等于相似比. 6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方. 4 探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的判定方法: 一般三角形直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所 截得的三角形与原三角形相似. 两角对应相等; 两边对应成比例,且夹角相等; 三边对应成比例. 一个锐角对应相等; 两条边对应成比例: a. 两直角边对应成比例; b. 斜边和一直角边对应成比例. 2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图 2, l1 / l2 / l3,则. EF BC DE AB 3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 5 相似三角形的判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 北师大版北师大版 - 9 - 第五章第五章 投影与视图投影与视图 A）三视图 主视图从正面看到的图 左视图从左面看到的图 俯视图从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等. 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线. B）投影 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称 为中心投影 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。 C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。 . 眼睛所在的位置称为视点， . 由视点发出的光线称为视线， . 眼睛看不到的地方称为盲区 北师大版北师大版 - 10 - 第六章第六章 反比例函数反比例函数 知识点知识点 1 1 反比例函数的定义反比例函数的定义 一般地，形如（k 为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： x k y 0k x 是自变量，y 是 x 的反比例函数； 自变量 x 的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；0 x 0y 比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k 反比例函数有三种表达式： （） ， x k y 0k （） ， 1 kxy 0k （定值） （） ；kyx0k 函数（）与（）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的 x