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第 1 页 共 11 页 专题函数常见题型归纳专题函数常见题型归纳 三个不等式关系: (1)a,bR,a2b22ab,当且仅当 ab 时取等号 (2)a,bR,ab2,当且仅当 ab 时取等号 ab (3)a,bR,()2,当且仅当 ab 时取等号 a2b2 2 ab 2 上述三个不等关系揭示了 a2b2 ,ab ,ab 三者间的不等关系 其中,基本不等式及其变形:a,bR,ab2(或 ab()2),当且仅当 ab ab 2 ab 时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值利用 基本不等式求最值:一正、二定、三等号 【题型一题型一】利用利用拼凑法拼凑法构造不等关系构造不等关系 【典例 1】 (扬州市扬州市 20152016 学年度第一学期期末学年度第一学期期末11)已知且1, , , ba ,则的最小值为 .7log3log2ab ba 1 1 2 b a 【解析】且,解得1, , , ba7log3log2ab ba 3 2log7 log a a b b 或,即 1 log 2 ab log3 ab 1, , , ba 1 log 2 ab 2 ab 2 11 11 11 aa ba 1 2113 1 a a 练习:1(南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟10)若实数, x y满足 0 xy,且 22 loglog1xy,则 22 xy xy 的最小值为 解析:由 log2x+log2y=1 可得 log2xy=1=log22,则有 xy=2,那么 yx yx 22 = yx xyyx 2)( 2 =(xy)+ yx 4 2 yx yx 4 )(=4,当且仅当(xy)= yx 4 ,即 x=3+1,y=31 时等号成立,故 yx yx 22 的最小值为 4 2.(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017 届高三上学期期末)若实数满足, x y 第 2 页 共 11 页 ,则的最小值为 1 33(0) 2 xyxx 31 3xy 3.(无锡市 2017 届高三上学期期末)已知,且,则0,0,2abc2ab 的最小值为 . 5 22 accc babc 【典例 2】 (南京市 2015 届高三年级第三次模拟12)已知 x,y 为正实数,则 4x 4xy 的最大值为 y xy 解析:由于= 4x 4xy y xy )(4( )4()(4 yxyx yxyyxx 22 22 54 84 yxyx yxyx =1+=1+1+= , 22 54 3 yxyx xy 3 45 xy yx 542 3 x y y x 4 3 当且仅当 4=,即 y=2x 时等号成立 y x x y 【典例 3】若正数、满足,则的最小值为_.ab3ababab 解析:由,得,解得, a bR 22 3() ,()4() 120 2 ab abababab (当且仅当且,即时,取等号).6abab3abab3ab 变式:1.若,且满足,则的最大值为_., a bR 22 ababab 解析:因为,所以由, a bR 2 2222 () 2 ab abababab 2 ()ab ,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0ab02abab 22 abab1ab 2.设,则的最小值为_ 40, 0yx822xyyxyx2 3.设,则的最大值为_ Ryx,14 22 xyyxyx 210 5 2 4.(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)已知正数,满ab 足,则的最小值为 19 5ab ab ab 【题型二题型二】含条件的最值求法含条件的最值求法 【典例 4】 (苏州市 2017 届高三上期末调研测试)已知正数满足,则yx,1 yx 第 3 页 共 11 页 的最小值为 1 1 2 4 yx 练习 1 (江苏省镇江市高三数学期末14)已知正数满足,则yx,1 11 yx 的最小值为 . 1 9 1 4 y y x x 解析:对于正数 x,y,由于+=1,则知 x1,y1,那么 x 1 y 1 +=(+) (1+1)=(+) (+)( 1 4 x x 1 4 y y 1 4 x x 1 4 y y x 1 y 1 1 4 x x 1 4 y y x x1 y y1 +)2=25,当且仅当=时等号成 x x x x1 1 4 y y y y1 1 4 1 4 x x y y1 1 4 y y x x1 立 2.(20132014 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)11)已知正数 , x y 满足 22xy,则 8xy xy 的最小值为 解析: 81818288 14529 222 xyxyxyxy xyyxyxyxyx ,当且仅当 8 2 xy yx 时,取等号故答案为:9 3 (南通市 2015 届高三第一次调研测试12)已知函数的图像经过点(0) x yab b ,如下图所示,则的最小值为 .(1,3)P 41 1ab 解析:由题可得 a+b=3,且 a1,那么+=(a1+b) (+)=(4+ 1 4 ab 1 2 1 1 4 ab 1 2 1 第 4 页 共 11 页 +1)(2+5)=,当且仅当=时等号成立 b a1 1 4 a b 2 1 1 41 a b b a 2 9 b a1 1 4 a b 4 (江苏省苏北四市 2015 届高三第一次模拟考试12)己知 a,b 为正数,且直线 60axby与直线 2(3)50 xby互相平行,则 2a+3b 的最小值为 _ 【解析】由于直线 ax+by6=0 与直线 2x+(b3)y+5=0 互相平行,则有 2 a = 3b b ,即 3a+2b=ab,那么 2a+3b=(2a+3b) ab ba23 =(2a+3b) ( b 3 + a 2 )= b a6 + a b6 +132 a b b a 66 +13=25,当且仅当 b a6 = a b6 ,即 a=b 时等号成立 5.常数 a,b 和正变量 x,y 满足 ab16, .若 x2y 的最小值为 64,则 a x 2b y 1 2 ab_. 答案:64;(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数满足,则的最大值为 , a b 12 1 22ab bba a ab 答案: 2 2 2 3 【题型三】代入消元法 【典例 5】 (苏州市 2016 届高三调研测试14)已知,则的 1 4 ab ,(0,1)a b 12 11ab 最小值为 解析:由得 , 1 4 ab 1 4 a b 2 22 12 11 42412271 1 411451451ab bbbb bbbbbb 令 则当且仅当71bt 22 7149494 2 1114 18 451427183 427 bt bbtt t t 即 等号成立 3 2 2 t 3 22 14 第 5 页 共 11 页 练习 1 (江苏省扬州市 2015 届高三上学期期末12)设实数 x,y 满足 x22xy10, 则 x2y2的最小值是 解析:由 x22xy10 可得 y=,那么 x2y2= x2=x2+2 2 1 2 x x 22 2 (1) 4 x x 5 4 2 1 4x 1 2 =,当且仅当x2=,即 x4=时等号成立 2 2 51 44 x x 1 2 5 2 1 2 5 4 2 1 4x 1 5 2 (苏州市苏州市 2014 届高三调研测试届高三调研测试13)已知正实数 x,y 满足,则 x + y 的 最小值为 解析:正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4,(0 x2) x+y=x+= =(x+1)+3,当且仅当 第 6 页 共 11 页 时取等号x+y 的最小值为故答案为: 3 (南通市(南通市 2014 届高三第三次调研测试届高三第三次调研测试9)已知正实数满足,则, x y(1)(1)16xy 的最小值为 xy 解析:正实数 x,y 满足(x1) (y+1)=16,x+y=1 1 16 y x ,当且仅当 y=3, (x=5)时取等号x+y 的最小值为8 1 16 121 1 16 y yy y 8故答案为:8 4.(扬州市 2017 届高三上学期期中)若,且,则使得取2, 0ba3ba 2 14 ba 得最小值的实数= 。a 5.设实数 x、y 满足 x 2xy10,则 xy 的取值范围是_ 2 6.已知,且,求的最大值为_Rzyx,1zyx3 222 zyxxyz 【题型四题型四】换元法换元法 【典例 6】 (南京市、盐城市(南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试13)已知函数 f(x) ax2xb(a,b 均为正数),不等式 f(x)0 的解集记为 P,集合 Qx|2tx2t若对于任意正数 t,PQ,则 的最大值是 1 a 1 b 【解析】由题意可知任意正数 t,集合 Qx|2tx2t,构成的集合的交集 t Q 为,即,令 22420,42fabba 2 111132 4242 a abaaaa ,当且仅当,等号成32au 2 119991 4 4104182 410 u abuu u u 1u 立,或(舍)故则 的最大值是 1,a 1 3 a 0,b 1 2 a 1 a 1 b 1 2 2(2016 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14)已知正数 a,b,c 满足 b+ca,则 +的最小值为 第 7 页 共 11 页 解法一:正数 a,b,c 满足 b+ca, + +=( + )+ =+ 当且仅当=时取等号 故答案为: 解法二:由 得,令,则,acb1 ba cc b x c a y c 1xy ,所以 1bc x cabxy ,当且 11111111 2122 212212222 bc xxx cabxyxx 仅当时等号成立故的最小值为 21 2 x ba c c b 1 2 2 练习 1 (江苏省南京市江苏省南京市 2016 届高三第三次模拟届高三第三次模拟14)若实数 x,y 满足 2x2xyy21, 则 22 2 522 xy xxyy 的最大值为 解析:由 2x2xyy21 可得,21xyxy,令2xyt,则 1 xy t , 11 3 xt t , 12 3 yt t ,代入 22 2 522 xy xxyy 得 2 2 1 1 t t t t ,令 1 tm t ,则 22 2 2 1 12 12 224 t mm t mm tm tm ,当且仅当2m 时取等号,故 22 2 522 xy xxyy 的最大值为 2 4 2设, x y是正实数,且1xy,则 22 21 xy xy 的最小值是_. 解:设2xs,1yt ,则4st , 第 8 页 共 11 页 所以 22 21 xy xy = 22 (2)(1)41 (4)(2) st st stst 4141 ()()6()2st stst . 因为 411 411 49 ()()(5) 444 ts st ststst 所以 22 1 214 xy xy . 3.若实数 x,y 满足 2x2xyy21,则的最大值为 x2y 5x22xy2y2 2 4 4 (江苏省苏、锡
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