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章末复习课,第二章点、直线、平面之间的位置关系,1.整合知识结构,梳理各知识网络,进一步巩固、深化所学知识; 2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力,在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.,要点归纳,题型探究,达标检测,学习目标,要点归纳 主干梳理 点点落实,1.四个公理 公理1:如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:过_的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有_. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相_. 2.直线与直线的位置关系,答案,共面直线,异面直线:不同在_一个平面内,没有公共点,两点,不在同一条直线上,一条过该点的公共直线,平行,平行,相交,任何,3.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质,答案,a,a,b,,ab,a,a,a,,b,(2)面面平行的判定与性质,答案,a,b,,abP,,a,b,b,a,(3)空间中的平行关系的内在联系,4.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直,答案,任意,mnO,答案,a,b,ab,(2)平面与平面垂直的判定与性质定理,, a, l, la,垂线,答案,(3)空间中的垂直关系的内在联系.,答案,5.空间角 (1)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的_叫做异面直线a,b所成的角(或夹角). 范围:设两异面直线所成角为,则090.,锐角(或直角),(2)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在_所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为_. (3)二面角的有关概念 二面角:从一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作_的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,返回,答案,平面内的射影,90和0,两个半平面,垂直于棱,类型一几何中共点、共线、共面问题,题型探究 重点难点 个个击破,例1如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGCDHHC12. 求证:(1)E、F、G、H四点共面; 证明BGGCDHHC,GHBD, 又EFBD,EFGH, E、F、G、H四点共面.,解析答案,(2)GE与HF的交点在直线AC上. 证明G、H不是BC、CD的中点,EFGH. 又EFGH,EG与FH不平行, 则必相交,设交点为M.,反思与感悟,M在面ABC与面ACD的交线上, 又面ABC面ACDACMAC. GE与HF的交点在直线AC上.,解析答案,反思与感悟,1.证明共面问题 证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合. 2.证明三点共线问题 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上. 3.证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.,跟踪训练1如图,O是正方体ABCDA1B1C1D1上底面ABCD的中心,M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证:O、M、A1三点共线.,证明OAC,AC平面ACC1A1,O平面ACC1A1. MAC1,AC1平面ACC1A1,M平面ACC1A1. 又已知A1平面ACC1A1, 即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上, 又O、M、A1三点都在平面A1BD上, 所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上, 所以O、M、A1三点共线.,解析答案,类型二空间中的平行关系,例2如图,E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点, 求证:(1)GE平面BB1D1D; 证明如图,取B1D1中点O,连接GO,OB,,解析答案,OG綊BE,四边形BEGO为平行四边形. OBGE. OB平面BDD1B1,GE平面BDD1B1, GE平面BDD1B1.,(2)平面BDF平面B1D1H. 证明 由正方体性质得B1D1BD, B1D1平面BDF,BD平面BDF, B1D1平面BDF. 连接HB,D1F,易证HBFD1是平行四边形,得HD1BF. HD1平面BDF,BF平面BDF, HD1平面BDF. B1D1HD1D1, 平面BDF平面B1D1H.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,1.判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法: (1)利用线面平行的判定定理. (2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 2.判断面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)面面平行的传递性(,); (3)利用线面垂直的性质(l,l).,跟踪训练2如图,ABC为正三角形,EC平面ABC,DB平面ABC,CECA2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,求证:平面DMN平面ABC. 证明M、N分别是EA与EC的中点,MNAC, 又AC平面ABC,MN平面ABC,MN平面ABC, DB平面ABC,EC平面ABC,BDEC, N为EC中点,EC2BD,NC綊BD, 四边形BCND为矩形,DNBC, 又DN平面ABC,BC平面ABC, DN平面ABC, 又MNDNN,平面DMN平面ABC.,解析答案,例3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. 证明:(1)CDAE; 证明在四棱锥P-ABCD中, PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD. ACCD,PAACA,CD平面PAC. 而AE平面PAC,CDAE.,类型三空间中的垂直关系,解析答案,(2)PD平面ABE. 证明由PAABBC,ABC60,可得ACPA. E是PC的中点,AEPC. 由(1),知AECD,且PCCDC,AE平面PCD. 而PD平面PCD,AEPD. PA底面ABCD,PAAB. 又ABAD且PAADA, AB平面PAD,而PD平面PAD, ABPD. 又ABAEA,PD平面ABE.,解析答案,反思与感悟,空间垂直关系的判定方法 (1)判定线线垂直的方法: 计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角); 线面垂直的性质(若a,b,则ab). (2)判定线面垂直的方法: 线面垂直定义(一般不易验证任意性); 线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bcMa); 平行线垂直平面的传递性质(ab,ba); 面面垂直的性质(,l,a,ala); 面面平行的性质(a,a); 面面垂直的性质(l,l).,反思与感悟,反思与感悟,(3)面面垂直的判定方法: 根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90); 面面垂直的判定定理(a,a).,跟踪训练3如图,A,B,C,D为空间四点.在ABC中,AB2,,(1)当平面ADB平面ABC时,求CD;,解如图,取AB的中点E,连接DE,CE, 因为ADB是等边三角形,所以DEAB. 当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABCAB, 所以DE平面ABC,可知DECE,,解析答案,解 当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD. 证明如下:当D在平面ABC内时, 因为ACBC,ADBD, 所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即ABCD. 当D不在平面ABC内时, 由(1)知ABDE.又因ACBC,所以ABCE. 又DE,CE为相交直线,所以AB平面CDE, 由CD平面CDE,得ABCD. 综上所述,总有ABCD.,解析答案,(2)当ADB转动时,是否总有ABCD?证明你的结论.,类型四空间角问题,解析答案,例4如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小;,解在四棱锥PABCD中, 因为PA底面ABCD,AB平面ABCD, 故PAAB.又ABAD,PAADA, 从而AB平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA, 从而APB为PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中,ABPA,故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,(2)证明:AE平面PCD; 证明在四棱锥PABCD中, 因为PA底面ABCD,CD平面ABCD, 故CDPA.由条件CDAC,PAACA, 所以CD平面PAC. 又AE平面PAC,所以AECD. 由PAABBC,ABC60,可得ACPA. 因为E是PC的中点,所以AEPC. 又PCCDC,所以AE平面PCD.,解析答案,(3)求二面角APDC的正弦值.,解析答案,反思与感悟,解过点E作EMPD,垂足为M,连接AM,如图所示. 由(2)知,AE平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM, 则可证得AMPD. 因此AME是二面角APDC的平面角. 由已知,可得CAD30. 设ACa,可得,在RtADP中,AMPD,AMPDPAAD,,反思与感悟,1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). 2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). 3.二面角的平面角的作法常有三种:(1)定义法;(2)垂线法;(3)垂面法.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4如图,正方体的棱长为1,BCBCO,求: (1)AO与AC所成角的度数; 解ACAC, AO与AC所成的角就是OAC. AB平面BC,OC平面BC, OCAB,又OCBO,ABBOB. OC平面ABO. 又OA平面ABO,OCOA.,解析答案,(2)AO与平面ABCD所成角的正切值; 解如图,作OEBC于E,连接AE. 平面BC平面ABCD, OE平面ABCD, OAE为OA与平面ABCD所成的角.,解析答案,(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数. 解OCOA,OCOB,OAOBO, OC平面AOB. 又OC平面AOC, 平面AOB平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.,返回,1,2,3,达标检测,解析答案,1.下列四个结论: (1)两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行. (2)两条直线没有公共点,则这两条直线平行. (3)两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行. (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3,4,解析(1)两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能; (2)两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面; (3)两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能; (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面内. 答案A,1,2,3,4,解析答案,2.设有不同的直线m、n和不同的平面、,下列四个命题中,正确的是() A.若m,n,则mn B.若m,n,m,n,则 C.若,m,则m D.若,m,m,则m,1,2,3,4,解析选项A中当m,n时,m与n可以平行、相交、异面; 选项B中满足条件的与可以平行,也可以相交; 选项C中,当,m时,m与可以垂直,也可以平行等. 故选项A、B、C均不正确.,D,解析答案,3.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底面AB
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