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1,4-7能态密度和费米面一、能态密度函数,2,一、能态密度函数,1、能态密度函数定义: 在EE+ E能量范围内的能态数目用Z表示,则能态密度函数定义为:,单位体积能态密度g(E):,3,一、能态密度函数,.Z的确定,在 空间中作 和 等能面,在两等能面之间状态数即为Z。而 空间中分布是均匀的,密度为 ,即:,(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。,4,一、能态密度函数,.关于E,由 的含义(表示沿法线方向能量的改变率)可知:,.由此得能态密度N(E)一般表达式:,5,关于能态密度的计算,公式:,例一、自由电子能态密度(E)。 例二、若已知,求g(E)。 例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。,6,例一、自由电子能态密度(E),解:自由电子的能量本征值:,自由电子等能面为球面,其半径为:,7,例一、自由电子能态密度(E),分析()关系,近自由电子近似的能态密度,8,近自由电子近似的等能面,第一布里渊区内:,认为从原点向外,等能面应该基本上保持为球面,接近于布里渊区边界:,等能面将向外凸出,当EAEEC时:,等能面将不再是完整的闭合面,而是分割在各个顶角附近的曲面。,9,近自由电子能态密度(E),(E)关系可表示如下:,(1)EEA时,由于等能面开始残破,面积下降,尤其是到达EC时,等能面缩小为几个顶角点,所以由EA到EC过程,N(E)将不断下降到零。,10,近自由电子能态密度(E),(4)当E达到并超过第二布里渊区的最低能量EB时,能态密度N(E)将从EB开始,由0迅速增大。 注:右图为能带无交叠的情况。,11,近自由电子能态密度(E),能带有交叠情况,12,例二,例二、若已知,求g(E)。,解:等能面方程:,13,例二,能量为E的等能面内的状态数记作Z:,14,例二,引申情况:当m1=m2=m3时,等能面为球面; 当m1=m2m3时,等能面为椭球面。,15,例三,计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E),解:简立方晶格的s带能带函数,计算公式:,16,例三,所以能态密度可表示为:,17,紧束缚近似等能面,能带底附近等能面为球面;E增大,等能面偏离球面,E越增大,偏离越明显(P218图4-40)。,18,例三,(1)能带底E=E0-6J1; (2)当E=E0-2J1时,出现微商不连续奇点,这时恰好等能面与布里渊区界面相交,等能面如P219图4-42所示; (3)E=E0时,为能带的中点,N(E)函数以E0为中心,上下对称,等能面如P219图4-43所示。,能态密度函数图(P219图4-41),19,例三,能态密度的临界点(范霍夫奇点),En(k)是k空间的周期函数,因此每个周期性单元中必定存在有 的点,例如:En(k)的极大值和极小值点; 的鞍点等等,而且这些点是出现在布里渊区的高对称点处。,20,例三,以简立方晶格为例,说明紧束缚近似下的s能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点。,点 是极小值点; R点 是极大值点; X点 是一个鞍点布区侧面中心。,21,二、费米面,能量是k的函数,费米分布描述电子按能量的分布。,在k空间中画出等能面,电子按费米函数分布在各等能面上,按泡利原理,由低到高,填充能量尽可能低的电子态。,若固体中有N个电子,在k空间填充了半径为kF的球,球内包括的状态数恰好等于N,即:,一般称这个球为费米球,kF称为费米球半径,球的表面称费米面。,22,费米面定义,指当T0时,k空间中占有电子和不占有电子区域的分界面。这里 费米面的能量值称为费米能级EF; 对应的电子动量称为费米动量 ; kF称为费米球半径; 称为费米速度;,费米面就是k空间中能量为EF的等能面。,23,费米面,费米能级EF,费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时,从E=0到E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n,即:,费米球半径kF,N个电子在k空间填充半径为kF的费米球,费米球内包括的状态数恰好等于N,即,24,关于“费米面”,(1)绝对零度下,费米面将填充能级和未填充能级分隔开; (2)费米面形状基本上不随温度变化; 温度升高时,只有少量电子从费米面内侧附近激发到外侧附近,费米能级本身很少随温度变化,因此,费米面成为金属的一个物理特性。,25,费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的形状确定,(1)电子热容是由费米面附近电子激发所引起; (2)功函数是费米面附近的电子逸出金属所必须作的功; (3)接触电势差是费米面附近的电子流动产生的; (4)讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米面附近能态占据状况的变化所引起等。,26,金属的功函数与接触电势差,功函数:WA,WB;,27,接触电势差: VA-VB=(WB-WA)/q,28,例:自由电子费米能级EF,29,自由电子费米能级EF,若定义电子球半径 (由 得到); 氢原子玻尔半径 ;,30,自由电子的费米面,31,电子在晶体中按能级是如何排布的呢?,电子是费密子,它的排布原则有以下两条:,(1) 服从泡里不相容原理,排满电子的能带称为满带;,排了电子但未排满的称为未满带(或导带);,未排电子的称为空带;,(有时也称为导带);,两个能带之间的禁带是不能排电子的。,(2) 服从能量最小原理,32,导体和绝缘体 (conductor &insulator),它们的导电性能不同, 是因为它们的能带结构不同。,晶体按导电性能的高低可以分为,33,三、晶体能带的填充情况,第一种情况:只有满带和空带,电子恰好填满最低的一系列能带,再高的各带全部是空的。 最高的满带价带;最低的空带导带(此时导带为空带) ; 价带最高能级(价带顶)与导带最低能级(导带底)之间的能量范围带隙。 带隙宽度大(约10eV)绝缘体; 带隙宽度小(约1eV)半导体。,34,第一种情况:只有满带与空带图示,35,晶体能带的填充情况,除去完全被电子充满的一系列能带(即满带)外,还有只是部分被电子填充的能带(即未满带),常被称为导带(此时,导带为不满带)。,第二种情况:除满带和空带,还存在未满带,36,导体,导体,导体,半导体,绝缘体,Eg,Eg,Eg,37,在外电场的作用下,大量共有化电子很 易获得能量,集体定向流动形成电流。,从能级图上来看,是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。,E,导体,38,从能级图上来看,是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带(Eg 约36 eV), 共有化电子很难从低能级(满带)跃迁到 高能级(空带)上去。,在外电场的作用下,共有化电子很难接 受外电场的能量,所以形不成电流。,的能带结构,满带与空带之间也是禁带, 但是禁带很窄(E g 约0.12 eV )。,绝缘体,半导体,39,绝缘体与半导体的击穿,当外电场非常强时,它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。,绝缘体,半导体,导体,40,例一、碱金属是电子填充情况,以Na晶体为例,来说明电子填充情况。 结构:体心立方晶格,每个原胞有一个原子。 电子组态:1s22s22p63s1 分析:由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个电子所填满(即满带),剩下一个3s带,只被一个3s电子填充到一半(即半满带)。这时若将钠晶体置于一外电场中,这个3s带中的电子将在外电场作用下,获得加速,跃入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立一个沿电场方向不对称的电子占据态分布,导致沿外场方向出现电流。,41,例一、碱金属是电子填充情况,而在满带中的电子,不存在上述构成电流的条件,由于中心布里渊区的对称性,存在等量的+k和-k电子,其贡献的电流互相抵消,即使在外电场作用下也互相抵消。 总结:钠晶体是良导体的原因在于其电子结构中存在半满带。,金属(碱金属,贵重金属等),42,例二、IIA族二价碱土金属,以Mg元素为例来分析IIA族的碱土金属的电子填充情况。 电子组态:1s22s22p63s2 分析:1s2,2s2,2p6,3s2等原子能级扩展的4个电子能带是满带,而且3s带也是一个满带,它正好容纳2个3s电子(对每个原子而言)。外电场作用下不能激发电流,论理应是非导体,但事实Mg却是良导体(认为3s 带和更高的3p带有交叠)。,43,例二、IIA族二价碱土金属,原因在于3s和3p能级十分接近,扩展后的3s和3p能带将发生部分重叠,因此3s带尚未填满时,就会有部分电子已进入3p带中,即3s和3p能带都成为未满带。在外电场作用下,则会激发而产生电流。,金属(碱土金属等),44,k1方向上的3p带底能量低于k2方向的3s带能量,导致部分3s电子占据3p带中较低的状态,两个带都变成未充满的带。,45,例三、半金属,与碱土金属的电子填充情况相比,二者的区别在于半金属的能带交叠很小,其导电性比碱土金属还低几个数量级,故称为半金属。但其本质上仍是金属,费米能级处在能带重叠部分里。 例如,与三价铝同族的镓,铟,铊; 三价铝是优良金属,但它们的导电性与铝相比却相差很大,这是由于受d层电子的影响。,46,例三、半金属,又如:VA族的砷,锑,铋等等。 结构分析:它们是以双原子基胞构成复式晶格,每个基胞中价电子数是偶数(10),理论上最外带应该是满带,属于非导体,但由于它们同碱土金属一样,价电子带与再上面的一个能带少量重叠,只是重叠很小很小,导电性比碱土金属还低几个数量级,故称为半金属。,47,例四、四价的碳,硅,锗,锡等,以碳为例来说明其电子填充情况。 碳电子组态:1s22s22p2 (1)石墨结构 其sp2杂化轨道扩展成为被禁带所隔开的两个能带,而2pz带和sp2能量较高的带有微小重叠,将有小部分电子进入2pz带,而在2pz带留下相应空位,使得石墨成为半金属,具有一定导电性。,48,例四、四价的碳,硅,锗,锡等,(2)金刚石结构典型的非导体(绝缘体) 其sp3杂化轨道能级扩展为能隙为6eV的两个能带,而2s2和2p2电子正好填满能量较低的一个带(满带)。上面的带为全空状态(空带)。除非外加电场足够大得使介质被击穿,结构被破坏,否则晶体中不能产生电流。,绝缘体,
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