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第一章 1.3 空间几何体的表面积与体积,第2课时 柱体、锥体、台体、球 的体积与球的表面积,1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式,会利用它们求有关几何体的体积; 2.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积; 3.会求简单组合体的体积及表面积.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一柱体、锥体、台体的体积公式,1.柱体的体积公式 (S为底面面积,h为高);,2.锥体的体积公式 (S为底面面积,h为高); 3.台体的体积公式 (S、S为上、下底面面积,h为高);,答案,VSh,4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,答案,知识点二球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S (R为球的半径); 2.球的体积公式 .,4R2,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一柱体、锥体、台体的体积 例1(1)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.,解析由所给三视图可知, 该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成, 底面半径为1 m,圆锥的高为1 m,圆柱的高为2 m, 因此该几何体的体积,解析答案,(2)在四棱锥EABCD中,底面ABCD为梯形,ABCD,2AB3CD,M为AE的中点,设EABCD的体积为V,那么三棱锥MEBC的体积为多少?,反思与感悟,解析答案,解设点B到平面EMC的距离为h1,点D到平面EMC的距离为h2. 连接MD. 因为M是AE的中点,,反思与感悟,而VEMBCVBEMC,VEMDCVDEMC,,因为B,D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离,而ABCD,,反思与感悟,三棱锥的任一侧面都可以作为底面来求其体积;在已知三棱锥的体积时,可用等体积法求点到平面的距离.,跟踪训练1一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(),解析答案,解析该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,,C,类型二球的表面积与体积,例2(1)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比是_.,解析答案,解析设圆锥的底面半径为R,,(2)如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为_. 解析由三视图知该几何体由圆锥和半球组成, 且球的半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母 线长等于5, 所以该几何体的表面积为 S2323533.,解析答案,反思与感悟,33,反思与感悟,对于(1)中关键要记住球的表面积公式和体积公式,对于关于球的三视图,要特别注意,球的三种视图都是直径相同的圆.,跟踪训练2(1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620,则r等于() A.1 B.2C.4 D.8,解析答案,解析由正视图与俯视图想象出直观图,然后进行运算求解. 如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体, 球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,,又S1620, (54)r21620, r24,r2,故选B.,答案 B,(2)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_.,解析答案,反思与感悟,解析设球的半径为R, 则V柱R22R2R3,,312,类型三组合体的表面积与体积 例3(1)一球与棱长为2的正方体各个面相切,则该球的体积为_. 解析由题意可知球是正方体的内切球, 因此球的半径为1,,解析答案,反思与感悟,(2)正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是_.,解析答案,解析正方体内接于球, 则由球及正方体都是中心对称图形知,它们的中心重合. 可见,正方体的对角线是球的直径.设球的半径是r, 则正方体的对角线长是2r.,反思与感悟,解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来解决.,跟踪训练3 (1)球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为34,则球的体积与圆台的体积之比为() A.613 B.514C.34 D.715,解析答案,解析如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形ABCD, 球的大圆O内切于梯形ABCD. 设球的半径为R,圆台的上、下底面半径分别为r1、r2, 由平面几何知识知,圆台的高为2R,母线长为r1r2. AOB90,OEAB(E为切点), R2OE2AEBEr1r2. 由已知S球S圆台侧4R2(r1r2)234.,返回,(2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2, 它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积为_.,解析答案,1,2,3,达标检测,4,5,解析答案,1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABC的体积为(),D,1,2,3,4,5,解析答案,2.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为 ,那么它的体积为(),解析依题意得正六棱锥的高为,B,1,2,3,4,5,3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为() A.2 B.4 C.8 D.16 解析体积最大的球是其内切球,即球的半径为1, 所以表面积为S4124.,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为_.,解析由三视图可知,该几何体是一个半球, 其表面积为2123.,3,1,2,3,4,5,解析答案,5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为_.,1,2,3,4,5,解析答案,解析方法一如图,过球心O作轴截面ABCD, 作DEBC,垂足为E.设球的半径为r1, 则在RtCDE中,DE2r1,CERr,DCRr.,1,2,3,4,5,方法二如图,过球心O作轴截面ABCD, 设球的半径为r1,AB与圆O相切于点F, 连接OA,OB,OF, 则在RtAOB中,OF是斜边AB上的高. 由相似三角形的性质得OF2BFAFRr,,故球的表面积为S球4Rr.,规律与方法,1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为,S0,2.在三棱锥ABCD中,若求点A到平面BCD的距离h,,这种方法就是用等体积法求点到平面的距离,其中V一般用换顶点法求解,即VABCDVBACDVCABDVDABC,求解的原则是V易求,且BCD的面积易求.,3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算. 5.解决球与其他几何体的切接问题,通常先作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.,返回,
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