2020/10/15,第四章 根轨迹法,1,第四章,根轨迹法,作者： 浙江大学 邹伯敏 教授,自动控制理论,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,2020/10/15,第四章 根轨迹法,2,第一节 根轨迹法的基本概念,自动控制理论,什么是根轨迹法,闭环特性方程式,当K由0变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。,表4-1 根与K的关系,图4-1 二阶系统,(4-1),方程式(4-1)的根为,2020/10/15,第四章 根轨迹法,3,图4-2 系统的根轨迹,对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:,1) 0K， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) K， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）,如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49%。,自动控制理论,由式（3-26）求得,由于 ，在图4-2上过坐标原点 作与负实轴夹角为45和射线，它与根轨迹的 交点S= -05j0.5，这就是所求的希望闭环极点。,2020/10/15,第四章 根轨迹法,4,图4-3 控制系统的框图,根轨迹的幅值条件与相角条件,特征方程：,于是得：,假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：,自动控制理论,由上式可知，凡是满足方程,的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的 一个点。由于s 是复数，故有：,2020/10/15,第四章 根轨迹法,5,则上式改写为：,于是得：,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,6,自动控制理论,图4-4 一阶系统,设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹 的幅值条件得：,即,令,（4-10）,（4-11）,式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇 同心圆，如图4-5所示。,图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹,2020/10/15,第四章 根轨迹法,7,结论：,自动控制理论,根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：,找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值,例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹,解：,1）用相角条件绘制根轨迹,2）用幅值条件确定增益K,2020/10/15,第四章 根轨迹法,8,图4-6 用试探法确定根轨迹,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,9,第二节 根轨迹的基本规则,开环传递函数有如下两种表示：,其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为：,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,10,绘制根轨迹的基本规则,规则1：根轨迹的对称性,由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复数.根轨迹必然对称于S平面的实轴,规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点,闭环特征方程：,当k由 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称 为根轨迹的一条分支；,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,11,因为nm，所以根轨迹分支共计为n条；,根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：,根轨迹终点就是当 时根的位置；,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,12,规则3：根轨迹在实轴上的分布,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,13,图4-7 实轴上根轨迹的确定,实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 右方实轴上开环极点数 与零点数之和的数是否为奇数。,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,14,规则4：根轨迹的渐近线,1、渐近线的倾角,2、渐进线与实轴交点,3、用分子除以分母得,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,15,则：,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,16,图4-8 控制系统方框图,例4-2 绘制图4-8所示系统的根轨迹,1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远 3） 渐近线与正实轴的夹角,解：,4）实轴上的0至-1和-2至-间的线段为根轨迹,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,17,规则5：分离点与会合点,当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点,图4-10 根轨迹的分离点和会合点,图4-11 根轨迹的复数分离点,求解根轨迹的分离点和会合点,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,18,例4-3 求图4-8所示系统的分离点,解：特征方程,图4-12 例4-4的根轨迹,例4-4 已知,求根的分离点,1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2j4 2） 渐近线与正实轴的夹角,解：,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,19,3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 4） 求分离点，系统的特征方程为,规则6：出射角与入射角,根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角,图4-13 根轨迹出射角的确定,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,20,规则7：根轨迹与虚轴的交点,例 已知闭环特征方程式为,由劳斯判据：,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,21,规则8：特征方程式根之和与根之积,把式（4-13）改为,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,22,如果n-m2则闭环方程,于是得：,例4-5 已知一单位反馈控制系统的,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,23,图4-14 例4-5的根轨迹图,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,24,第三节 参量根轨迹的绘制,图4-18 双闭环控制系统的框图,例4-7 试绘制图4-18所示的系统以为参变量的根轨迹,解：,图4-19 例4-7的根轨迹图,一个可变量根轨迹的绘制,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,25,几个可变参量根轨迹的绘制,例4-8 试绘制图4-20所示,试绘制以K和为参变量的根轨迹,图4-21 根轨迹图,图4-20 单位反馈控制系统,解： 特征方程式,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,26,第四节 非最小相位系统的根轨迹,开环传递函数的零点、极点均位于S左半平面的系统，称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统出现非最小相位系统有如下三种情况,1） 系统中有局部正反馈回路 2） 系统中含有非最小相位元件 3） 系统中含有纯滞后环节,图4-22具有正反馈回路的控制系统,正反馈回路的根轨迹,内回路的闭环传递函数为,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,27,相应的特征方程为,由上式得,正反馈系统根轨迹与负反馈系统根轨迹的不同这处有：,1）实轴上线段成这根轨迹的充要条件是该线段右方实轴上开环零点数与极点数这和为偶数 2）渐近线与实轴的倾角,3）开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角分别为,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,28,系统中含有非最小相位元件,图4-23 非最小相位系统,由相角条件得,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,29,滞后系统的根轨迹,图4-25 滞后系统的框图,特征方程为,图4-24,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,30,自动控制理论,第五节 增加开环零、极点对根轨迹的影响,当按某一参变量作出系统的根轨迹图后，如果系统的性能不能满足设计要求时， 一般可增加开环零点的方法实现。,增加开环零点,设系统的开环传递函数,(4-50),当K由 变化时，系统的根轨迹如图4-29所示。,图4-29 根轨迹图,若增加一个开环零点-b，则开环传递函数变为,(4-51),2020/10/15,第四章 根轨迹法,31,自动控制理论,（1）假设零点-b位于 的实轴段上，若令b=5，即,(4-52),根据式（4-52）作出的根轨迹图如图4-30所示。由劳斯判据求得该系统稳定的临界增益k0=12，此值与未加零点前的值一样大小。当k012，根轨迹中有 两条分支进入s的右半平面，这表明附加零点对系统根轨迹的影响甚小，即系 统的动态性能不会因此而有明显的改善，其原因是该零点距离虚轴较远。,（2）假设零点-b位于 间的实轴段上，若令b=1.2，即,(4-53),据此作出系统的根轨迹如图4-31所示。 由图可见，当K在 范围内变化时， 该系统总是稳定的。,图4-30 系统的根轨迹图,2020/10/15,第四章 根轨迹法,32,自动控制理论,（3）假设零点-b位于 间的实轴段上，若令b=0.4，即,(4-54),图4-31 根轨迹图,图4-32 根轨迹图,据此，作出系统的根轨迹图如图4-32所示。 由图可知：,1）当K由 变化时，系统的根轨迹都位于s平面 的左方，因而该系统总是稳定的。,2）当kk1，3个团环极点中同样有一对共轭复数 极点s1、s2和一个实数极点s3，但由于极点s3距 虚轴很近，因而相应的瞬态分量衰减得很缓慢， 从而导致系统的输出响应有较长的过渡过程时间， 这是一般的控制系统所不希望的。,由上述分析可知，增加的开环零点于s平面实轴上的 不同位置，它对系统根轨迹所产生的影响是不同的。 对于某一具体的开环传递函数，只有选择合适的附加零点，才有可能使控制系统的稳定性及动态性能得到显著地改善。,2020/10/15,第四章 根轨迹法,33,增加开环极点,自动控制理论,若在开环传递函数中增加一个开环极点，-p(p0)，则在根轨迹的相角方程中 增加了一个负角-arg(s+p)，从而导致系统的根轨迹作向右倾斜变化，这显然 不利于系统的稳定性及动态性能的改善。对此，举例如下：设一单位反馈系统 的开环传递函数为,系统的根轨迹如图4-33所示。由图可知，当参变量K由 变化时，该系统 总是稳定的。如增加一个开环极点-2，则开环传递函数变为,对应的根轨迹如图4-34所示。当K6时，系统就变为不稳定了。,图4-34 根轨迹图,图4-33 根轨迹图,2020/10/15,第四章 根轨迹法,34,第六节 用根轨迹法分析控制系统,用根轨迹法确定系统中的有关参数,图4-35 控制系统,试用选择参数K1和K2以使系统满足下列性能指标,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,35,在S左半平面上,过坐标原点作一与负实轴成45角的射线,如图4-36所示,图4-36 在S平面上希望极点的区域,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,36,图4-37为对应的根轨迹。,以为参变量的根轨迹如图4-38所示,该图与由过坐标原点作一与负实轴成45角的直线；并与根轨迹相交于-3.15j3.17。由根轨迹幅值条件求得=4.3=20K2 ； K2=0.215,因为所术闭环极点实部=3.15;因而,图4-37 式（4-63）的根轨迹,图4-38 式（4-64）的根轨迹,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,37,确定指定K0时的闭环传递函数,例 已知,求K0=0.5时的闭环传递函数。,解 在分离点S=-0.423处，由幅值条件求得K0=0.385由此可知，K0=0.5时，系统有一对共轭复根和一个实根，经试样法确定，当s3=-2.192时，K00.5,图4-39 根轨迹图,自动控制理论,2020/10/15,第四章 根轨迹法,38,确定具有指定阻尼比的闭环极点和单位阶跃响应,仍以图4-8所示系统为例令，=0.5，试求,1）闭环极点和相应的增益 2）单位阶跃信号作用下的输出响应,自动控制理论,