第二章 恒定电场,Steady Electric Field,序,导电媒质中的电流,基本方程 分界面衔接条件 边值问题,导电媒质中恒定电场与静电场的比拟,电导和接地电阻,下 页,电源电动势与局外场强,返 回,通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。,本章要求:,熟练掌握静电比拟法和电导的计算。,理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。,掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。,下 页,上 页,返 回,基本方程,E 的旋度,边值问题,边界条件,电 位,一般解法,电导与接地电阻,特殊解(静电比拟),恒定电场知识结构,基本物理量 J、 E,欧姆定律,J 的散度,下 页,上 页,返 回,2.1.1 电流 (Current),定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。,2.1 导电媒质中的电流,Current in Conductive Media,三种电流：,A,传导电流电荷在导电媒质中的定向运动。,位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。,运动电流带电粒子在真空中的定向运动。,下 页,上 页,返 回,导体或电解液,1. 电流面密度 J,电流,体电荷 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流,电流密度,2.1.2 电流密度（Current Density),下 页,上 页,返 回,图2.1.1 电流面密度矢量,图2.1.2 电流的计算,（垂直）,（描述导体中每一点的电荷运动情况）,电流密度的方向为正电荷的运动方向,描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流,2. 电流线密度 K,电流,en 是垂直于 dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。,面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。,图2.1.3 电流线密度及其通量,下 页,上 页,电流线密度,返 回,描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流,3. 线电流的概念,工程应用,媒质磁化后的表面磁化电流；,同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；,高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。,下 页,上 页,图2.1.4 媒质的磁化电流,返 回,以线密度 以速度v运动形成的电流,元电流段是元电荷 以速度 v 运动形成的电流,导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场,因此，导电媒质中，电流密度矢量和电场强度之间 必然存在一种函数联系,欧姆定律 微分形式。,2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohms Law),电导率，其倒数为电阻率 单位,导电媒质中,象金银等这样的金属，电导率很高，具有良好 的导电性能，因此称为良导体。电导率为无限 大的导体称为理想导体，在理想导体中，电场 一定为0，因为如果电场不为0，电流密度会为 无限大。这与电流必须有限相矛盾。反之，象 玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小，在一般 情况下可以忽略。近似认为为0。电导率为0的 媒质称为理想介质。理想介质中电流为0。,补充,J 与 E 共存，且方向一致。,简单证明：,欧姆定律 微分形式。,在线性媒质中,左边,右边,欧姆定律 积分形式。,下 页,上 页,图2.1.5 J 与 E 之关系,返 回,自由电荷在导电媒质中移动时，不可避免地会与 其它质点发生碰撞，例如金属导体中的自由电子 会在电场力地作用下定向运动，会不断地与原子 晶格发生碰撞，将动能转换为原子的热振动，造成 能量损耗。因此要在导体中维持恒定电流，必须 持续地对电荷提供能量。这些能量最终都转化成 热能,焦耳定律,2.1.4 焦尔定律的微分形式,4. 焦尔定律的微分形式,导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为,下 页,上 页,J 与 E 之关系,设小块导体,功率密度,Joules Law微分形式,提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。,2.2.1 电源 (Source),2.2 电源电动势与局外场强,Source EMF and 0ther Field Intensity,下 页,上 页,返 回,图2.2.1 恒定电流的形成,电源能将电源内部导体原子或分子中的 正负电荷分开，使正负电荷之间的电压维持恒定，从而 使与它相联结的导体（电源外）之间的电压也恒定，使 导体内存在一恒定电流，并在周围维持一恒定电场。,电源电动势是电源本身的特征量， 与外电路无关。,局外场强,局外力,2.2.2 电源电动势 (Source EMF),图2.2.1 恒定电流的形成,（电源中将正负电荷分开的力）,局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极,即作用于单位正电荷上的局外力,因此，对闭合环路积分,局外场 Ee 是非保守场。,图2.2.2 电源电动势与局外场强,电源电动势,电源内总场强,下 页,上 页,返 回,a,b,L,2.3.1 基本方程 (Basic Equations),在恒定电场中,恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。,故,电荷守恒原理,1. J 的散度,亦称电流连续性方程,下 页,上 页,返 回,(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）,结论： 恒定电场是无源无旋场。,2. E的旋度,所取积分路径不经过电源，则,3. 恒定电场（电源外）的基本方程,积分形式,微分形式,构成方程,下 页,上 页,返 回,仍成立,下 页,上 页,恒定电场的基本方程与电路的基本定律,恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。,2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions),说明分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。,静电场（=0）,下 页,上 页,采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒定电场中不同媒质分界面的衔接条件。,恒定电场（无源区）,下 页,上 页,在不同媒质分界面上,一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在,表明,有关静电场的定律适用于恒定电场，因静电场是恒定电场的特例,注意,折射定律,电流线的折射,下 页,上 页,分界面上电位 的衔接条件,由,下 页,上 页,良导体与不良导体的交界面。,1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。,2）良导体可以近似认为是等位体。,表明,讨论,3）可以用电流场模拟静电场。,在理想介质中,空气中,导体中,表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行。,表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。,下 页,上 页,返 回,图2.3.2 导体与理想介质分界面,导体与理想介质的分界面,讨论,表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面,下 页,上 页,理想导体与理想介质的分界面。,1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降，电流分布在导体表面，导体不损耗能量,2）理想介质中的E垂直于导体表面。,表明,讨论,下 页,上 页,有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于介质中而且存在于导体中；,恒定电场与静电场不同之处,电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场；,静电场,恒定电场,下 页,上 页,导体不是等位体；,导体媒质内外伴随有磁场和温度场。,导线端面电荷引起的电场,导线侧面电荷引起的电场,所有电荷引起的电场叠加,导电媒质周围介质中的恒定电场,介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所产生的恒定场，与静电场的分布相同。,2.3.3 边值问题（Boundary Value Problem),分界面衔接条件,拉普拉斯方程,得,由基本方程出发,由,得,下 页,上 页,返 回,例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。,( 区域）,解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：,( 区域）,下 页,上 页,图2.3.4 不同媒质弧形导电片,返 回,电位,电场强度,电荷面密度,通解,下 页,上 页,返 回,2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟,2.4.1 比拟方法 (Contrast Method),Contrast of Steady Electric Field and Electrostatics,静电场,恒定电场（电源外）,两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,边界条件,对应物理量,微分方程相同；,场域几何形状及边界条件相同；,媒质分界面折射情况相似，满足,下 页,上 页,静电比拟的条件,试求同轴电缆的电场。,例,解,静电场,qI,恒定电场,下 页,上 页,结论,恒定电场,1）把求解恒定电场的解析解问题转化为求解静电场的 解析解问题；,2）把求解恒定电场的数值解问题转化为求解静电场的 数值解问题；,3）把静电场的镜像法直接用于恒定电场。,应用静电比拟可以,在实验室用恒定电场模拟静电场,固体模拟 （如导电纸模拟）,实验方法：,液体模拟 （如电解槽模拟）,恒定电流场的电极表面近似为等位面,( 条件 ),下 页,上 页,由于实验研究静电场十分困难，而许多工程实际问题可以近似看作静电场问题，用恒定电流场模拟静电场的方法进行实验研究是一种可行的方法。,也可以用恒定电流场来研究非电的相似问题。,2.5.1 电导 (Conductance),2.5 电导与接地电阻,Conductance and Ground Resistor,下 页,上 页,返 回,电导：流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。,1. 通过电流场（或电压）计算电导,或设,思路,设,当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。,多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部分电容比拟。（自学）,2. 比拟法,即,下 页,上 页,返 回,例2.5.1 求图示同轴电缆的绝缘电阻。,解(1),电导,(2)用静电比拟法求解,由静电场,绝缘电阻,下 页,上 页,图2.5.1 同轴电缆横截面,返 回,面电流密度,设漏电流为,设电缆的长度L远大于截面半径， 忽略其端部边缘效应,通解 代入边界条件，得,电位函数,解 取圆柱坐标系 ， 边值问题,下 页,上 页,电场强度,图2.5.2 弧形导电片,返 回,电流,电导,电流密度,下 页,上 页,返 回,电场强度,2. 接地电阻(Ground Resistor),下 页,上 页,电路中某一点和大地连接。,接地,接地器电阻、接地器与土壤之间的接触电阻、土壤电阻构成。,接地的工程意义,人身安全，属于保护性接地。,设备的运行需要，属于工作性接地。,接地器,埋在地中的导体系统（棒、球、柱及其它组合）。,接地电阻,定义接地电阻（以为参考）,下 页,上 页,接地电阻的计算,计算接地电阻必需研究地中电流分布，认为在接地器附近电流密度最大，接地电阻主要集中在接地器附近。,因此接地电阻与接地器的形状尺寸、埋入深度及土壤的导电系数有关。,求深埋地中的球形接地器的接地电阻,通过电流场计算电阻,静电比拟法,下 页,上 页,例,解一,解二,求浅埋的球形接地器的接地电阻。,用镜像法,下 页,上 页,例,解,采用数值解,求浅埋的半球形接地器的接地电阻。,接地器接地电阻,解,下 页,上 页,例,为危险区半径,2.5.3 跨步电压 (Step Voltage),以浅埋半球接地器为例,人体的安全电压U040V,上 页,返 回,基本方程,E 的旋度,边值问题,边界条件,电 位,一般解法,电导与接地电阻,特殊解(静电比拟),恒定电场知识结构,基本物理量 J、 E,欧姆定律,J 的散度,上 页,同轴电缆,返 回,屏蔽室接地电阻（深度 20 m）,下 页,返 回,高压大厅网状接地电阻（深度1米）,上 页,返 回,1. 干电池和钮扣电池（化学电源）,电 源,干电池电动势1.5V，仅取决于 （糊状）化学材料，其大小决定储存的能量，化学反应不可逆。,钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。