1,有限元与数值方法第五讲有限元法的一般原理与基本格式- 有限元的基本概念,授课教师：刘书田,Tel：84706149； Email： 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：0010：20,2,弹性力学问题的有限元法,有限元法的基本思想,杆系结构的直接刚度法,静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。,3,有限元法的基本思想,杆系结构的直接刚度法,静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。,由节点的平衡方程就可求得节点位移； 这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩阵适当地组装得到。,4,杆系有限元方法,以桁架结构为例，介绍有限元的基本思想,5,杆单元的有限元分析,一维线性杆单元,基本假定： 只能承受拉压内力（各杆两端的约束条件使得弯曲、扭转、剪切不能传递） 轴线为直线 材料满足胡克定律,自由转动,1,2,6,位移插值,建立轴线方向的坐标系,记任一点轴向位移为,并将节点位移表示为,建立杆件位移与节点位移的插值关系,其中，形函数必须满足,1,2,1,节点位移协调关系满足,7,可简单地将形函数取为一次多项式的形式：,考虑到边界条件，,可得到,因此,位移插值,杆上无分布力时，一次多项式可精确描述杆件变形,8,位移及应变,小位移假设下，应变为,位移模式为,位移模式包括刚体位移和常应变模式 N 形函数矩阵 B 应变矩阵,9,单元刚度阵,利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为,则节点力为,其矩阵形式表示为,单元刚度矩阵,S 应力矩阵,10,X,Y,x,y,X,Y,x,y,i,坐标变换矩阵,设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标。 为任意单元 i 端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为 X、Y；在单元坐标系中的分量为 x、y。 X、Y 在单元坐标x轴上投影的代数和给出 x 。同理， X、Y 在单元坐标 y 轴上投影的代数和给出 y,11,即,坐标变换矩阵,令 表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量， 表示两个端点的位移矢量在全局坐标系的分量，则,12,上式可写成,坐标变换矩阵R的具体内容为：,用节点坐标描述方向余弦：,坐标变换矩阵,（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点 i 和节点 j 在全局坐标系中的坐标值,13,平面内任意方向的杆单元,记为,而节点力列阵满足 (或 ),由单元局部坐标系下的关系,可得到,或写成,其中,14,1. 整体节点位移,单元节点位移：,总体控制方程：,单元集成分析,扩充矩阵,2. 整体节点力,15,边界条件,全局平衡方程,如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的,零位移约束条件,16,边界条件处理,零位移约束条件代人平衡方程，得到,约束反力,外载荷,未知位移,17,对于一般的指定位移约束，可将方程分块为,其中， 是指定位移， 是主动位移,边界条件,即,18,在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为,根据位移插值关系,单元应变和应力,可给出单元轴向应变为,由胡克定律可进一步给出单元轴向应力为,19,单元应变和应力,而由,可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力,20,连续体问题的有限元方法 的基本思想,21,有限元法(FEM)是求解偏微分方程边值问题近似解的数值方法,边值问题,未知量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量（如位移、温度、流体速度等） 边界条件是给定的场变量值或者其偏导数,有限元法的基本概念,22,有限元法的基本概念,有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，通常称为“单元”或“有限元”。 对每一单元假定一个分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。 有限元法方程的系数矩阵通常是稀疏的，便于求解。 有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程结构分析问题。 有限元法应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等,23,(a) 二维问题的几何域 (b) 三角形单元 (c) 有限元网格的一部分,单元,有限元网格,有限元法中的离散,各种几何形状的有限元单元,24,三角形的顶点称为节点（node） 节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解,node,热传导问题的三角形单元,node,有限元法中的场变量表示,以平面热传导问题的三角形单元为例,25,除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？,单元内部点的场变量值由单元节点的插值(interpolation )给出:,T = ?,有限元法中的场变量表示, , 和 是插值函数，称为位移函数或形函数。插值函数所包括的多项式阶数越高，越能精确表示位移分布。,26,常见平面单元形状与节点数,三节点三角形单元 CST(常应变单元),六节点三角形单元 二次插值,八节点四边形单元 二次插值,CST三角形单元网格划分简单，但对于弯曲过刚；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于CST单元 四边形单元剖分有时比较困难，但性能较好,四节点四边形单元 双线性插值,27,四节点四面体单元 线性插值（常应变）,十节点四面体单元 二次插值（线性应变）,八节点四面体单元 Lagrange单元 非完全三次插值,二十节点Serendipity单元,四面体单元网格剖分简单，但四节点四面体精度较差 八面体单元精度较好，但网格剖分比较困难,常见三维单元形状与节点数,28,一维单元,(x),(x),(x),不同形式的单元插值,29,二维单元,不同形式的单元插值,30,三维单元,不同形式的单元插值,(x,y,z),(x,y,z),31,有限元法总体思路,有限元法通过加权余量法（或变分法、最小势能原理、虚功原理等）将偏微分方程转变为代数方程，便于计算机处理,将求解域剖分为网格，对节点变量进行单元分片插值值,单元矩阵形成规范化，形函数只与坐标有关，便于计算机计算,单元刚度阵组装为整体系数矩阵后，考虑边界条件，求解矩阵方程即可得到节点未知量。,32,有限元法的理论基础概述,将微分方程转化为等效积分弱形式 变分原理 加权余量法 采用单元上的分片假设近似函数，将积分方程转化为代数方程组,33,Finite Difference (FD) Method: FD 对微分算子进行近似 在节点上建立方程,Finite Element (FE) Method: FE 采用精确的算子，但利用基函数对场变量进行近似 在问题域上建立方程（需要积分形式）,有限元法的基本思路及比较,Strong form,Weak form,Galerkin approx.,Matrix form,34,有限元法的实施流程,解方程 Kd= F,提取单元位移de,计算单元内力和应力,把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K,结构离散为单元,建立单元刚度矩阵Ke,形成等价节点荷载F,形成单元等价节点力,