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线性方程组和矩阵知识总结吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 mnmnbxaxa321 222 121 其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m 不必相等. 线性方程组的解是一个 n 维向量它满足:当每个方中的未知数 xi 都用 ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解 .对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解b1=b2=bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解 ).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组.线性方程组的解法mnmnbxaxa321 222 121 (1) 、写出线性方程组的增广矩阵。(2) 、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。(3) 、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是,则方程组无解;反之方程组有解。(4) 、在有解的情况下,找出阶梯形矩阵中非零行的个数 r。如果 r=n,则方程组有唯一解;如果 rn,则方程组有无穷多解。(5)把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵。(6)根据简化阶梯形矩阵,给出线性方程组的一般解或解集。一些特殊的矩阵(1) 行矩阵只有一行的矩阵。(2) 列矩阵只有一列的矩阵。(3) 零矩阵所有元素都等于 0 的矩阵。(4) 当 时称 为 阶方阵; 所在的对角线称mn()ijnAa12,na为方阵的主对角线。(5)主对角线下(上)方的元素全为零的方阵称为上(下)三角阵。(6) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵,记为,简记为 。ndD 021 ),(21nddiagD(7) 单位阵记以 。E注(1) 只有 1 列或 1 行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵,也被称为列向量或行向量。这样,它们就有了矩阵和向量的双重“身份” 。(2) 矩阵也称为 阶方阵或 阶矩阵,而 1 阶矩阵被约定当作“ 数”nn(即“元”本身)对待,当然 “数”是不能当作 1 阶矩阵来对待的。(3)单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵,在今后讨论的基本运算中,它们各表现出一些简单特性,这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用。对线性方程组(1) 称为(1) 的系数矩阵,mnaA 11称为(1)的增广矩阵。mnmbaA 11矩阵的行(列)初等变换:(1) 对换矩阵的两行(列) ,用 表示对换 两行(列)的行()ijrc,ij(列)初等变换,即 ( ) ;ijrijc (2) 用非零数乘矩阵的某一行(列) ,用 表示以 乘矩()iirkc0k阵的第 行(列)的行(列)初等变换,即 ;i iii(3) 将矩阵的某行 (列)乘以数 再加入另一行(列)中去,用 表k ()ijijrkc示 乘矩阵的第 行(列)后加到第 行(列)的行(列)初等变换,即kij。()jijirc4、 矩阵的等价定义 将矩阵 的行经有限次初等变换化为 ,称 与 等价,记作ABA。AB5、 行阶梯形矩阵与最简形矩阵定义 3 若矩阵 的零行(元素全为零的行)位于 的下方,且各非零行(元素不全为零的行)的非零首元(第一个不为零的元素)的列标随行标的递增而严格增大,则称 为行阶梯形矩阵。A定义 4 若行阶梯形矩阵 的各非零首元均为 1,且各非零首元所在列的其余元素均为零,则称 为最简形。6、 用初等变换线性方程组的解1) 将(1)的增广矩阵 用行初等变换化为最简形;A2) 由最简形对应的方程组得到解。矩阵的秩矩阵秩的求法(1)定义法找出矩阵 中不为零的最高子式,算出它的阶数A(2)初等变换法用初等变换(行、列均可)将矩阵 化为标准形 ,即可得出ArEO;或化成阶梯形矩阵,其非零行的个数即为秩()RAr矩阵秩的性质(1) ()TRA(2) =AORB()R(3) max,)()ABR(4) ()(A(5)若 ,则B:)(R即初等变换不改变矩阵的秩,证明见课本(6) ()Amin(),B(7)若 ,则lBO()RAn(8) 为任意矩阵,则 T
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