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1线性方程组解的结构我们在第一节讨论了线性方程组的解的情况,现在进一步研究它的解的结构。一、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为AX=0(1)其中 , 。nmijaA)(nxX21齐次线性方程组(1)的解有下列性质:(1) 如果 是齐次线性方程组(1)的两个解,则 也是它的解。21,X 21X证:因为 是齐次线性方程组(1)的两个解,因此有:, 01A2得: 0)(21 XX所以 也是齐次线性方程组(1)的解。(2) 如果 是齐次线性方程组(1)的解,则 也是它的解。 ( 是常数)0 0XC C证:已知 是齐次线性方程组(1)的解,所以有0X0A从而 0)()(0CAC即 也是齐次线性方程组(1)的解。0由性质(1),(2)可得:(3)如果 都是齐次线性方程组(1)的解,则其线性组合sX,21也是它的解。其中 都是任意常数。sCXC21 sC,21当一个齐次线性方程组有非零解,即它有无穷多解,这无穷多解构成了一个向量组(称为解向量组) 。若我们能求出这解向量组的一个极大线性无关组,那么就能用它的线性组合表示这个齐次线性方程组的全部解。2定义 1:如果 是齐次线性方程组(1)的解向量组的一个极大线性s,21无关组,则称 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系。s定理 1:如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵 A 的秩 ,则齐次线nr)(性方程组的基础解系一定存在,且每个基础解系中恰恰含有 个解。证:因为 ,所以齐次线性方程组有无穷多解,且齐次线性方程组的nrA)(一般解为:(1)nrrrr rr nxKxKx 21222111其中 为自由未知量。对 n-r 个自由未知量分别取nr,21 10,代入(1)可得齐次线性方程组的 n-r 个解: 10,01,01 21221212 rnnrnrrrr KKK下面证明 是齐次线性方程组的一个基础解系,首先证明rn,21线性无关。因为向量组 是线性无关,则由上节所证rn,21 10,明的性质得 线性无关。rn,213再证齐次线性方程组的任意一个解 都可由 线性表示。ndX21 rn,21因为 是齐次线性方程组的解,所以满足(1)式:ndX21nrrrr rr ndKdKd 2122 12111从而 nrr nrrrr dddX 212212 1 10010121221212 rnrrrrrr KdKddrnrr dd21即 是 的线性组合,所以 是齐次线性方程组的一个Xrn, rn,21基础解系,因此齐次线性方程组的全部解为:rnCCX214式中 为任意常数。rnC,21例 1:求齐次线性方程组 的一个基础解系,并用此基017842633524321xx础解系表示它的全部解。解: 1784352178421578463352A 005501因为 ,所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为42)(Ar,原方程组与方程组 同解42,x0572431xx对自由未知量分别取 = ,代入上式得到齐次线性方程组的一个基42x0,础解系为: 1,07521则齐次线性方程组的全部解为:( 为任意常数)21CX21,例 2:求齐次线性方程组 的一个基础解系。04321xx解: 4310430121A因为 ,所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 ,43)(r 4x5原方程组与方程组 同解 04321x取自由未知量 =1,代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为:4xT1,3例 3:求齐次线性方程组 的一个基础解系。024431xx解: 0124A因为 ,所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为)(r,原方程组与方程组 同解32,x02431x对自由未知量为 分别取 和 ,代入上式得到方程组的一个基础解系32,x为: 和T0,11T0,12二、非齐次线性方程组解的结构:非齐次线性方程组可表示为 AX=b,称齐次线性方程组 AX=0 为非齐次线性方程组 AX=b 的导出组。下面讨论非齐次线性方程组的解和它的导出组解之间关系。(1) 如果 是非齐次线性方程组 AX=b 的解, 是其导出组 AX=0 的一个解,则 是非齐次线性方程组 AX=b 的解。证:由已知得 0,Ab所以有 b)(即 是非齐次线性方程组 的解。x6(2)如果 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个解,则 是其导出组21, 21AX=0 的解。证:由 得:bA21,( 0)2121 bA即 是其导出组 AX=0 的解。2定理 2:如果 是非齐次线性方程组的一个特解, 是其导出组的全部解,0 则 是非齐次线性方程组的全部解。0由此可知:如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解可表示为:rnCC210其中 是非齐次线性方程组的一个特解, 是导出组的一个基础解0 rn,21系。例 4:求非齐次线性方程组 的解,用其导出组的基础解1224431xx系表示其全部解。解: 00112124A因为 ,所以非齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知4)(r量为 ,原方程组与方程组 同解32,x0124431x取自由未知量 ,代入上式得非齐次方程组的一个特解为:032x 021再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组 同解02431x7对自由未知量为 分别取 ,代入上式得到其导出组的一个基础解系32,x10,为: 01,21则原方程组的全部解为:( 为任意常数)021CX21,C例 5:求非齐次线性方程组 的解,用其导出组的基549313643215421xx础解系表示其全部解。解: 4215035149321036A005因为 ,所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未52)(Ar知量为 ,原方程组与方程组 同解542,x425335421xx取自由未知量 为 ,得原方程组的一个特解: 542,0 T0,50再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组 同解2535421xx8对自由未知量 分别取 ,代入上式得到其导出组的一个542,x10,基础解系为: 10,0135235172则原方程组的全部解为: 0321CX练习:求解非齐次线性方程组: 6941854zyxz解: 6914328369142835A005147028 021因为 ,所以方程组有无穷多组解,取 为自由未知3)(Ar z量。得特解: 和基础解系: 。T,20T1,2即得方程组的全部解为: 。X0k例 6:已知 是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系,证明321, ,21也是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系。321证:由已知可得:齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有 3 个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可知 都是 AX0 的解;因此只要32121,证明 线性无关即可。32121,设存在数 使k90)()(32132121 kk成立。整理得:(1))()( 32321321已知 是齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系,即得 线性无关,321, 321,则由(1)得 ,解得:32k0321k所以 线性无关。即 也是齐次线性方程2121, 32121,组 AX0 的一个基础解系。例 7:设矩阵 A 。证:AB0 的充分必要条件是矩阵 B 的每snijnmijbBa,一列向量都是齐次方程组 AX=0 的解。证:把矩阵 B 按列分块: ,其中 是矩阵 B 的第 i 列向量s,21 i,零矩阵也按列分块),21(si ssmO,21则 sAA,21必要性:AB0 可得: ,即 是齐次方程组 AX=0 的解。),1(,siOBii iB充分性:矩阵 B 的每一列向量都是齐次方程组 AX=0 的解,即有),21(,siOAii 得: ,即证。sBA,21s,例 8:设 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量,且矩阵 A 的秩321,为 3, ,求 AXb 的通解。TT 3,21,0,432解:因为 A 的秩为 3,则 AX0 的基础解系含有 431 个解向量。由线性方程组解的性质得: 是 AX0 的解,)()(12132 则解得 AX0 的一个非零解为: 。T5,由此可得 AXb 的通解为: 。Tc434,
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