第 4 讲 简单的三角恒等变形 1若 tan 3，则 sin 2 1 cos 2 ( ) A.3 B3 C. 3 3 D 3 3 解析：选A. sin 2 1cos 2 2sin cos 12cos 21tan 3. 2(2016赣州联考) 化简 cos 40 cos 25 1sin 40 ( ) A1 B.3 C.2 D2 解析：选C.原式 cos 220 sin220 cos 25 （cos 20 sin 20 ） 2 （ cos 20 sin 20 ）（ cos 20 sin 20 ） cos 25 （ cos 20 sin 20 ） cos 20 sin 20 cos（ 45 20） cos 20 sin 20 cos 45 cos 20 sin 45 sin 20 2. 3已知 、 均为锐角，且tan cos sin cos sin ，则 tan( ) ( ) A. 3 3 B. 1 2 C.3 D1 解析： 选 D.因为 tan cos sin cos sin ，所以 tan 1tan 1tan tan 4 .又 、 均为锐角，所以 4 ，即 4 ，所以 tan( )tan 4 1. 4已知 sin 5 5 ，sin( ) 10 10 ， ，均为锐角，则角 等于 ( ) A. 5 12 B. 3 C. 4 D. 6 解析：选C.因为 ，均为锐角， 所以 2 2 . 又 sin( ) 10 10 ，所以 cos( ) 310 10 . 又 sin 5 5 ，所以 cos 25 5 ， 所以 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin( ) 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 所以 4 . 5若 0 2 ， 2 0，cos 4 1 3，sin 4 2 3 3 ，则 cos 2 ( ) A. 3 3 B 3 3 C. 6 3 D 6 9 解析：选C.由已知得 4 4 3 4 ， 4 4 2 2 ， 所以 sin 4 2 2 3 ， cos 4 2 6 3 ， cos 2 cos 4 4 2 cos 4 cos 4 2 sin 4 sin 4 2 6 3 . 6(2016温州八校联考) 若 sin cos 1 3，0，则 sin 2 cos 2 的值为 ( ) A. 817 9 B. 817 9 C. 8 17 9 D. 817 9 解析：选C.因为 sin cos 1 3 1 且 0，所以 为钝角 又由 sin cos 1 3得 12sin cos 1 9， 所以 sin 2 2sin cos 11 9 8 9， sin cos （ sin cos ） 22sin 2 1 92 8 9 17 9 17 3 ， 所以 cos 2 cos 2sin2 (sin cos ) (sin cos ) 1 3 17 3 17 9 ， 从而 sin 2 cos 2 8 9 17 9 817 9 . 7设 是第二象限角，tan 4 3，且 sin 2 cos 2 ， 则 cos 2 _ 解析：因为 是第二象限角，所以 2 可能在第一或第三象限 又 sin 2 cos 2 ，所以 2 为第三象限角，所以cos 2 0. 因为 tan 4 3， 所以 cos 3 5，所以 cos 2 1cos 2 5 5 . 答案： 5 5 8已知 cos 4sin42 3，且 0， 2 ，则 cos 2 3 _ 解析：因为cos 4 sin4(sin2cos2)(cos2 sin2 ) cos 2 2 3， 又 0， 2 ， 所以 2 (0， ) ， 所以 sin 2 1cos 22 5 3 ， 所以 cos 2 3 1 2cos 2 3 2 sin 2 1 2 2 3 3 2 5 3 215 6 . 答案： 215 6 9. 已知锐角，满足：sin cos 1 5，tan tan 3tan tan 3， 则 cos _ 解析：由 tan tan 3tan tan 3， 得 tan( ) 3， ， 0， 2 ， 3 ， 所以 sin( ) 3 2 ，cos( ) 1 2. 对 sin cos 1 5平方得 12sin cos 1 25，2sin cos 24 25， sin cos 12sin cos 1 24 25 7 5 . 联立 sin cos 1 5， 得 sin 4 5，cos 3 5， 故 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 1 2 3 5 3 2 4 5 343 10 . 答案： 343 10 10(2016济南模拟) 设 0， 3 ， 6 ， 2 ，且 53sin 5cos 8，2sin 6cos 2，则 cos ( ) 的值为 _ 解析：由53sin 5cos 8， 得 sin 6 4 5， 因为 0， 3 ， 6 6 ， 2 ， 所以 cos 6 3 5. 又 6 ， 2 ， 3 2 ， 5 6 ， 由已知得 sin 3 2 2 . 所以 cos 3 2 2 . 所以 cos( ) sin 2 （ ） sin 6 3 sin 6 cos 3 cos 6 sin 3 2 10 . 答案： 2 10 11已知 tan 1 3， cos 5 5 ， 2 ， ， 0， 2 ，求 tan( ) 的值， 并求出 的值 解：由 cos 5 5 ， 0， 2 ， 得 sin 25 5 ，tan 2. 所以 tan( ) tan tan 1tan tan 1 32 1 2 3 1. 因为 2 ， ， 0， 2 ， 所以 2 3 2 ，所以 5 4 . 14cos 50 tan 40 ( ) A.2 B. 23 2 C.3 D221 解析：选C.4cos 50 tan 40 4sin 40 sin 40 cos 40 4sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 2sin 80 sin 40 cos 40 sin 80 sin （60 20） sin （60 20） cos 40 sin 80 2cos 60 sin 20 cos 40 sin 80 sin 20 cos 40 sin （50 30） sin （50 30） cos 40 2sin 50 cos 30 cos 40 3cos 40 cos 40 3. 2已知 0 2 ，cos 4 1 3，sin( ) 4 5. (1) 求 sin 2 的值； (2) 求 cos 4 的值 解： (1) 法一：因为cos 4 cos 4 cos sin 4 sin 2 2 cos 2 2 sin 1 3， 所以 cos sin 2 3 ， 所以 1 sin 2 2 9， 所以 sin 2 7 9. 法二： sin 2 cos 2 2 2cos 2 4 1 7 9. (2) 因为 0 2 ， 所以 4 4 3 4， 2 0，cos( )0 ， 因为 cos 4 1 3，sin( ) 4 5， 所以 sin 4 2 2 3 ，cos( ) 3 5. 所以 cos 4 cos （） 4 cos( )cos 4 sin( ) sin 4 3 5 1 3 4 5 22 3 8 23 15 . 3已知 0 2 ，tan 2 1 2， cos( ) 2 10 . (1) 求 sin 的值； (2) 求 的值 解： (1) 因为 tan 2 1 2， 所以 tan 2tan 2 1tan 2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 3. 由 sin cos 4 3， sin 2cos21. 解得 sin 4 5(sin 4 5舍去 ) (2) 由(1) 知 cos 1 sin 2 1 4 5 2 3 5， 又 0 2 ，所以 (0， ) ， 而 cos( ) 2 10 . 所以 sin( ) 1cos 2（ ） 1 2 10 2 72 10 ， 于是 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin () 4 5 2 10 3 5 72 10 2 2 . 又 2 ， ，所以 3 4 .