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课后限时集训 68 古典概型与几何概型 建议用时: 45 分钟 一、选择题 1(2019全国卷) 生物实验室有5 只兔子,其中只有3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机取出3 只,则恰有2 只测量过该指标的概率为( ) A. 2 3 B 3 5 C. 2 5 D 1 5 B 设 5 只兔子中测量过某项指标的3 只为a1,a2,a3,未测量过这项指标的2 只为b1, b2,则从 5 只兔子中随机取出3 只的所有可能情况为(a1,a2,a3) ,(a1,a2,b1) ,(a1,a2, b2) ,(a1,a3,b1) ,(a1,a3,b2) ,(a1,b1,b2) ,(a2,a3,b1) ,(a2,a3,b2) ,(a2,b1,b2) , (a3,b1,b2) ,共 10 种可能其中恰有2 只测量过该指标的情况为(a1,a2,b1) ,(a1,a2, b2) ,(a1,a3,b1) ,(a1,a3,b2) ,(a2,a3,b1) ,(a2,a3,b2) ,共 6 种可能 故恰有 2 只测量过该指标的概率为 6 10 3 5. 故选 B. 2(2019长沙雅礼中学月考) “上医医国”出自国语晋语八 ,比喻高贤能治理好 国家 现把这四个字分别写在四张卡片上,其中“上”字已经排好,某幼童把剩余的三张卡 片进行排列,则该幼童能将这句话排列正确的概率是( ) A. 1 3 B 1 6 C. 1 4 D 1 12 A 幼童把这三张卡片进行随机排列,基本事件总数n3,该幼童能将这句话排列 正确的概率P 1 3. 故选 A. 3(2019江淮十校模拟) 易经是我国古代预测未来的著作,其中同时抛掷三枚古 钱币观察正反面进行预测未知,则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为( ) A. 1 8 B 1 4 C. 3 8 D 1 2 C 抛掷三枚古钱币出现的基本事件有:正正正,正正反,正反正,反正正,正反反, 反正反,反反正,反反反,共8 种,其中出现两正一反的共有3 种,故所求概率为 3 8.故选 C. 4将一个骰子连续掷3 次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( ) A. 1 12 B 1 9 C. 1 15 D 1 18 A 一个骰子连续掷3 次,落地时向上的点数可能出现的组合数为6 3216 种落地时 向上的点数依次成等差数列,当向上点数若不同, 则为 (1,2,3), (1,3,5), (2,3,4), (2,4,6), (3,4,5),(4,5,6),共有 2612 种情况;当向上点数相同,共有6 种情况故落地时向 上的点数依次成等差数列的概率为 126 216 1 12. 5. (2019济南模拟 ) 七巧板是一种古老的中国传统智力游 戏,被誉为“东方魔板”如图,这是一个用七巧板拼成的正方 形,其中 1 号板与 2 号板为两个全等的等腰直角三角形,3 号板与 5 号板为两个全等的等腰直角三角形,7 号板为一个等腰直角三角 形, 4 号板为一个正方形,6 号板为一个平行四边形现从这个大 正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) A. 1 8 B 1 4 C. 3 16 D 3 8 C 设大正方形的面积为4S,则 5 号板与 7 号板的面积之和为 3 4S ,所以从这个大正方 形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是 3 4S 4S 3 16. 二、填空题 6有一个底面半径为1、高为 2 的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱 内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1 的概率为 _ 2 3 由题意得该圆柱的体积V 1 2 22. 圆柱内满足点 P到点O的距离小于等于 1 的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球,且此半球的体积V1 1 2 4 3 1 32 3, 所以所求概率P VV1 V 2 3. 7(2019江苏高考) 从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务,则 选出的 2 名同学中至少有1 名女同学的概率是_ 7 10 从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务,基本事件总数n 10, 选出的 2 名同学中没有女同学包含的基本事件个数: m3,选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是p1m n 1 3 10 7 10. 8如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4 次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损, 则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_ 03 依题意,记题中被污损的数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则 有(8 921) (53x5) 0,解得x 7,即此时x的可能取值是7,8,9 ,因此甲的 平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P 3 100.3. 三、解答题 9已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽 样的方法从中抽取7 名同学去某敬老院参加献爱心活动 (1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2) 设抽出的7 名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2 名同学承 担敬老院的卫生工作 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2 名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率 解 (1) 由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用 分层抽样的方法从中抽取7 名同学, 因此应从甲、 乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人, 2 人, 2 人 (2) 从抽取的7 名同学中随机抽取2 名同学的所有可能结果为A,B ,A,C,A, D, A,E,A,F,A,G,B,C ,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C, E, C,F,C,G,D,E,D,F ,D,G,E,F,E,G,F,G,共 21 种 由,不妨设抽出的7 名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E, 来自丙年级的是F,G,则从抽出的7 名同学中随机抽取的2 名同学来自同一年级的所有可 能结果为 A,B, A,C ,B,C ,D,E,F,G ,共 5 种 所以,事件M发生的概率P(M) 5 12. 10(2019成都七中模拟) 某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐,为了解 通话时长,采用随机抽样的方法,得到该校100 位班主任每人的月平均通话时长T( 单位: 分钟 ) 的数据,其频率分布直方图如图所示,将频率视为概率 (1) 求图中m的值; (2) 估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数; (3) 在450,500),500,550这两组中采用分层抽样的方法抽取6 人,再从这6 人中随 机抽取 2 人,求抽取的2 人恰在同一组的概率 解 (1) 依题意,根据频率分布直方图的性质,可得: 50(m0.004 0 0.005 0 0.006 6 0.001 6 0.000 8) 1,解得m 0.002 0. (2) 设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t. 因为前 2 组的频率之和为(0.002 00.004 0)500.30.5 , 所以 350t400, 由 0.3 0.005 0 (t350) 0.5 ,得t390. 所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390 分钟 (3) 由题意,可得在450,500)内抽取 6 0.001 6 0.001 6 0.000 8 4 人,分别记为a,b,c, d, 在500,550内抽取 2 人,记为e,f, 则 6 人中抽取2 人的取法有: a,b ,a,c,a,d,a,e ,a,f,b,c ,b, d, b,e,b,f,c,d,c,e ,c,f,d,e,d,f,e,f,共 15 种等可 能的取法 其中抽取的2 人恰在同一组的有a,b,a,c ,a,d,b,c ,b,d, c,d , e,f ,共 7 种取法,所以从这6 人中随机抽取的2 人恰在同一组的概率P 7 15. 1在区间 0 , 上随机地取一个数x,则事件“ sin x 1 2”发生的概率为 ( ) A. 3 4 B 2 3 C. 1 2 D 1 3 D 在0 , 上,当x 0, 6 5 6 ,时, sin x1 2,故概率为 3 1 3. 2甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加“论语知识大赛”,决出第1 名到第 5 名的 名次 甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没 得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析,丙是第一名的概率是 ( ) A. 1 5 B 1 3 C. 1 4 D 1 6 B 因为甲和乙都不可能是第一名,所以第一名只可能是丙、丁或戊, 又考虑到所有的 限制条件对丙、 丁、戊都没有影响, 所以这三个人获得第一名是等概率事件,所以丙是第一 名的概率是 1 3. 故选 B. 3(2019河南洛阳统考) 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线axby 0 与圆 (x2) 2 y 2 2有公共点的概率为 _ 7 12 依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b) 有(1,1) , (1,2), (1,3) , (6,6),共 36 种,其中满足直线axby0 与圆 (x2) 2 y 22 有公共点,即 满足 2a a 2b2 2,a 2 b 2 的数组 (a,b) 有(1,1) ,(1,2) ,(1,3),(1,4) , (6,6),共 6 543 2121 种,因此所求的概率为 21 36,即 7 12 . 4已知向量a( 2,1) ,b(x,y) (1) 若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足ab 1 的概率; (2) 若x,y在连续区间 1,6上取值,求满足ab0的概率 解 (1) 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为66 36, 由ab 1,得 2xy 1, 所以满足ab 1 的基本事件为(1,1) ,(2,3) ,(3,5) ,共 3 个 故满足ab 1 的概率为 3 36 1 12. (2) 若x,y在连续区间 1,6上取值,则全部基本事件的结果为 (x,y)|1 x6,1 y 6 满足ab0 的基本事件的结果为A(x,y)|1 x 6,1 y6 且 2xy0 画出图像如图所示,矩形的面积为S矩形25, 阴影部分的面积为S阴影25 1 22421, 故满足ab0 的概率为 21 25. 1如图,B是AC上一点,分别以AB,BC,AC为直径作半圆,从B作BDAC,与半圆 相交于D,AC6,BD22,在整个图形中随机取一点,则此点取自图中阴影部分的概率是 ( ) A. 2 9 B 1 3 C. 4 9 D 2 3 C 连接AD,CD,可知ACD是直角三角形, 又BDAC,所以BD 2 ABBC,设ABx(0 x6) ,则有8x(6 x) ,得x2,所以AB2,BC4,由此可得图中阴影部分的面积 等于 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2,故概率P 2 1 29 4 9. 故选 C. 2某人有4 把钥匙,其中2 把能打开门现随机地取1 把钥匙试着开门,不能开门的 就扔掉,问第二次才能打开门的概率是_如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是 _ 1 3 1 4 第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开的概率为 22 43 1 3; 如果试过的钥匙不扔掉,这个概率为 22 44 1 4.
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