课时跟踪练 (六十四 ) A 组基础巩固 1.(2019 呼和浩特一调 )某校为了了解 A，B 两班学生寒假期间观 看中国诗词大会 的时长，分别从这两个班中随机抽取5 名学生进 行调查，将他们观看的时长(单位：小时 )作为样本，绘制成茎叶图如 图所示 (图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字) (1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个 班的学生平均观看的时间较长； (2)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19 的数据记为 a， 从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为 b，求 ab 的概率 解：(1)A 班样本数据的平均值为 1 5(911142031)17. B 班样本数据平均值为 1 5(1112212526)1917. 由此估计 B 班学生平均观看时间较长 (2)A 班的样本数据中不超过19 的数据 a 有 3 个，分别为 9，11， 14. B 班的样本数据中不超过21 的数据 b 也有 3 个，分别为 11， 12， 21， 从 A 班和 B班的样本数据中各随机抽取一个共有9 种不同情况， 分别为 (9，11)，(9，12)，(9，21)，(11，11)，(11，12)，(11，21)，(14， 11)，(14，12)，(14，21)， 其中 ab的情况有 (14，11)，(14，12)两种， 故 ab的概率 P2 9. 2 (2019 北京海淀区模拟 )某商场在元旦举行购物抽奖促销活动， 规定顾客从装有编号为0，1，2，3，4 的五个相同小球的抽奖箱中一 次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一 等奖，等于 6 或 5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为 不中奖 (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率 解：(1)记“中二等奖 ”为事件 A. 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有 (0，1)，(0， 2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3， 4)，共 10 个基本事件 记两个小球的编号之和为x，由题意可知， 事件 A 包括两个互斥 事件： x5，x6. 事件 x5 的取法有 2 种，即 (1，4)，(2，3)， 故 P(x5) 2 10 1 5； 事件 x6 的取法有 1 种，即 (2，4)，故 P(x6) 1 10. 所以 P(A)P(x5)P(x6)1 5 1 10 3 10. (2)记“不中奖 ”为事件 B，则“中奖”为事件B ，由题意可知， 事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x7)，中二等奖 (事件 A)，中三 等奖(x4) 事件 x7 的取法有 1 种，即 (3，4)，故 P(x7) 1 10； 事件 x4 的取法有 (0，4)，(1，3)，共 2 种， 故 P(x4) 2 10 1 5. 由(1)可知， P(A) 3 10. 所以 P(B )P(x7)P(x4)P(A) 1 10 1 5 3 10 3 5. 所以不中奖的概率为P(B)1P(B )13 5 2 5. 3(2019 深圳二调 )在“新零售”模式的背景下，某大型零售公 司为推广线下分店，计划在S 市的 A 区开设分店为了确定在该区 开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步 处理后得到下列表格记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这 x 个分店的年收入之和 x(个)23456 y(百万元 )2.5344.56 (1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与 x 的关 系，求 y 关于 x 的线性回归方程 y bxa； (2)假设该公司在A 区获得的总年利润z(单位：百万元 )与 x，y 之间的关系为 zy0.05x21.4，请结合(1)中的线性回归方程， 估算 该公司应在 A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年 利润最大？ 参考公式： y bxab =, 解： （1）法一由表中数据和参考数据得，x 4， y4， 所以b 8.5 10 0.85， 所以a yb x 440.850.6， 所以线性回归方程 y 0.85x0.6. 法二由表中数据和参考数据得， x 4， y 4， ， 所以b 88.5544 9054 2 0.85， 所以a yb x 440.850.6， 所以线性回归方程 y 0.85x0.6. (2)由题意，可知总年利润z 的预测值 z 与 x 之间的关系为 z 0.05x 20.85x0.8， 设该区每个分店的平均利润为t，则 t， 所以 t 的预测值 t 与 x 之间的关系为 t 0.05x 0.8 x 0.85 0.01 5x 80 x 0.850.012 5x 80 x 0.850.45， 当且仅当 5x 80 x ，即 x4 时， t 取到最大值， 所以该公司在A 区开设 4 个分店时，才能使A 区的每个分店的 平均年利润最大 4(2019 银川质检 )某单位 N 名员工参加“我爱阅读”活动，他 们的年龄在 25 岁至 50 岁之间，按年龄分组：第1 组25，30)，第 2 组30，35)，第 3 组35，40)，第 4 组40，45)，第 5 组45，50，得 到的频率分布直方图如图所示 下面是年龄的分布表： 区间25，30)30，35)35，40)40，50)45，50 人数28a b (1)求正整数 a，b，N 的值； (2)现要从年龄低于40 岁的员工用分层抽样的方法抽取42 人， 则年龄在第 1，2，3 组的员工人数分别是多少？ (3)为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按 性别比例抽查的40 人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结 果如下所示： (单位：人 ) 分类 喜欢阅读国学 类书籍 不喜欢阅读 国学类书籍 总计 男14418 女81422 总计221840 根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜 欢阅读国学类书籍和性别有关系？ 附：K2 n（adbc） 2 （ab）（cd）（ac）（bd） ，其中 nab cd. P(K2k0)0.0500.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6357.87910.828 解：(1)总人数 N 28 50.02 280， 所以 a280(0.025)28. 第 3 组的频率是 15(0.020.020.060.02)0.4， 所以 b2800.4112. (2)因为年龄低于 40 岁的员工在第 1， 2， 3 组，共有 2828112 168(人)， 利用分层抽样在168人中抽取 42 人， 则第 1 组抽取的人数为28 42 168 7， 第 2 组抽取的人数为28 42 168 7， 第 3 组抽取的人数为112 42 16828， 所以抽取的年龄在第1，2，3 组的员工人数分别是7，7，28. (3)根据表中数据，求得 K 2 的观测值 K2 40（141448） 2 18222218 6.860 56.635， 查表得 P(K26.635)0.01，从而能有 99%的把握认为该单位员 工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系 B 组素养提升 5(2019 兰州实战模拟 )随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们 交流的一种形式某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机 抽取了 50 人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数 如下表： 年龄 (单位：岁 ) 15，25)25，35) 35，45) 45，55)55，65) 65，75 频数510151055 赞成人数51012721 (1)若以“年龄 45 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22 列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与 人的年龄有关； 分类 年龄不低于 45 岁 的人数 年龄低于 45 岁 的人数 总计 赞成 不赞成 总计 (2)若从年龄在 55，65)的被调查人中随机选取2 人进行追踪调 查，求 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信交流”的概率 参考数据： P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 K2 n（adbc） 2 （ab）（cd）（ac）（bd） ，其中nabc d. 解：(1)22 列联表如下： 分类 年龄不低于 45 岁 的人数 年龄低于 45 岁的 人数 总计 赞成102737 不赞成10313 总计203050 根据表中数据，求得K2观测值 K 250（1031027） 2 37132030 9.986.635. 所以有99%的把握认为 “使用微信交流 ”的态度与人的年龄有 关 (2)设年龄在 55，65)中不赞成 “使用微信交流 ”的人为 A，B， C，赞成 “使用微信交流 ”的人为 a，b， 则从 5 人中随机选取 2 人有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)， (B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10 种结果， 其中 2 人中至少有1 人不赞成 “使用微信交流 ”的有 (A，B)，(A， C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共 9 种结果，所以 2 人中至少有 1 人不赞成 “使用微信交流 ”的概率为 P 9 10. 6某校从高一年级学生中随机抽取40 名学生，将他们的期中考 试数学成绩 (满分 100分， 成绩均为不低于 40分的整数 )分成六段：40， 50)，50，60)，90，100后得到如图所示的频率分布直方图 (1)求图中实数 a 的值； (2)若该校高一年级共有640 人，试估计该校高一年级期中考试 数学成绩不低于60 分的人数； (3)若从数学成绩在 40，50)与90，100两个分数段内的学生中随 机选取 2 名学生，求这2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10 的概率 解：(1)由已知，得 10(0.0050.0100.020a0.0250.010) 1，解得 a0.03. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60 分的频率为 110 (0.0050.010)0.85.由于该校高一年级共有学生640 人，利用样 本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数为 6400.85544. (3)易知成绩在 40，50)分数段内的人数为400.052，这 2 人 分别记为 A，B；成绩在 90，100分数段内的人数为400.14，这 4 人分别记为 C，D，E，F.若从数学成绩在 40，50)与90，100两个 分数段内的学生中随机选取2 名学生，则所有的基本事件有(A，B)， (A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B， F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 个如 果 2 名学生的数学成绩都在40，50)分数段内或都在 90，100分数段 内，那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一 个成绩在 40，50)分数段内，另一个成绩在 90，100分数段内，那么 这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这 2 名学生的 数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件 M，则事件 M 包含的基本 事件有 (A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E， F)，共 7 个，故所求概率 P(M) 7 15.所以这 2 名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10 的概率为 7 15.