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课时跟踪练 (四十三 ) A组基础巩固 1已知直线a和平面 , l,a?,a?,且a在 , 内的射影分别 为直线b和c,则直线b和c的位置关系是 ( ) A相交或平行B相交或异面 C平行或异面D相交、平行或异面 解析: 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面 答案: D 2已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC 和BD不相交,则甲是乙成立的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析: 若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若 直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的 充分不必要条件 答案: A 3若直线l1和l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是( ) Al与l1,l2都不相交 Bl与l1,l2都相交 Cl至多与l1,l2中的一条相交 Dl至少与l1,l2中的一条相交 解析: 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行, 故l1,l2中至少有一条与l相交 答案: D 4.(2019 邯郸调研) 如图,在三棱锥-SABC中,G1,G2分别是SAB和SAC的重心,则 直线G1G2与BC的位置关系是 ( ) A相交 B平行 C异面 D以上都有可能 解析: 连接SG1并延长交AB与M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN(图略 ) 由题意知 SM为SAB的中线,且SG1 2 3SM ,SN为SAC的中线,且SG2 2 3SN ,所以在SMN中, SG1 SM SG2 SN ,所以G1G2MN, 易知MN是ABC的中位线,所以MNBC, 因此可得G1G2BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行故选B. 答案: B 5(2019南永州模拟) 三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中 点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( ) A. 1 3 B. 2 4 C. 3 3 D. 2 3 解析: 连接DN,取DN的中点O,连接MO,BO, 因为M是AD的中点, 所以MOAN,所以BMO( 或其补角 ) 是异面直线BM与AN所成的角, 设三棱锥A-BCD的所有棱长为2, 则ANBMDN2 212 3, 则MO 1 2AN 3 2 NO1 2DN , 则BOBN 2 NO 2 1 3 4 7 2 , 在BMO中,由余弦定理得cos BMO BM 2 MO 2 BO 2 2BMMO 3 3 4 7 4 23 3 2 2 3, 所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为 2 3. 故选 D. 答案: D 6若平面, 相交,在, 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定 _个平面 解析: 如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点 可确定一个平面,所以可确定四个平面 答案: 1 或 4 7.(2019 重庆模拟) 如图,四边形AB-CD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂 直,则异面直线AP与BD所成的角为 _ 解析: 如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接GP, 则GPBD, 所以APG为异面直线AP与BD所成的角, 在AGP中,AGGPAP, 所以APG 3 . 答案: 3 8. 一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD. 以上四个命题中,正确命题的序号是_ 解析: 如图,ABEF,正确;显然ABCM,所以不正确;EF与MN是异面直线, 所以正确;MN与CD异面,并且垂直,所以不正确,则正确的是. 答案: 9(2019石家庄调研) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H 为直线B1D与平面ACD1的交点求证:D1、H、O三点共线 证明: 如图,连接BD,B1D1, 则BDACO, 因为BB1DD1, 所以四边形BB1D1D为平行四边形 又HB1D, B1D? 平面BB1D1D, 则H平面BB1D1D, 因为平面ACD 1平面BB1D1DOD1,所以HOD1. 故D1,H,O三点共线 10.(2019 佛山一中月考) 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中 点已知BAC 2 ,AB 2,AC 23,PA2. 求: (1) 三棱锥P-ABC的体积; (2) 异面直线BC与AD所成角的余弦值 解: (1)SABC1 2 22 323, 三棱锥P-ABC的体积为 V 1 3S ABCPA1 32 32 43 3 . (2) 如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则DEBC,所以ADE是异面直线BC与AD 所成的角 (或其补角 ) 在ADE中,DE2,AE2,AD2, cos ADE 2 2222 22 2 3 4. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为 3 4. B组素养提升 11(2019临汾模拟) 如图,在三棱台ABC-A1B1C1的 6 个顶点中任取3 个点作平面, 设 平面ABCl,若lA1C1,则这 3 个点可以是 ( ) AB,C,A1BB1,C1,A CA1,B1,CDA1,B,C1 解析: 过点B作BDAC,则BDA1C1, 连接A1B,C1D,CD,如图所示: 则平面 可以为平面A1BDC1, 则 平面ABCBDl,且lA1C1, 所以这 3 个点可以是A1、C1、B. 故选 D. 答案: D 12.(2019 珠海模拟) 如图,在矩形ABCD中,AB4,AD2,P为边AB的中点,现将 DAP绕直线DP翻转至DAP处,若M为线段AC的中点,则异面直线BM与PA所成 角的正切值为 ( ) A. 1 2 B2 C. 1 4 D4 解析: 取AD的中点N,连接PN,MN, 因为M是AC的中点, 所以MNCD,且MN 1 2CD , 因为四边形ABCD是矩形,P是AB的中点, 所以PBCD,且PB 1 2CD , 所以MNPB,且MNPB, 所以四边形PBMN为平行四边形, 所以MBPN, 所以APN( 或其补角 ) 是异面直线BM与PA所成的角 在 RtAPN中, tan APNA N AP 1 2, 所以异面直线BM与PA所成角的正切值为 1 2. 故选 A. 答案: A 13正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是 _( 填序号 ) ACBE; B1E平面ABCD; 三棱锥E-ABC的体积为定值; 直线B1E直线BC1. 解析: 因为AC平面BDD 1B1,故正确;因为B1D1平面ABCD,故正确;记正方体的 体积为V,则VE-ABC1 6V ,为定值,故正确;B1E与BC1不垂直,故错误 答案: 14. 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2 的正方形,OA底面ABCD,OA 2,M为OA的中点 (1) 求四棱锥O-ABCD的体积; (2) 求异面直线OC与MD所成角的正切值 解: (1) 由已知可求得正方形ABCD的面积S4, 所以四棱锥OABCD的体积V 1 34 2 8 3. (2) 如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE. 又M为OA中点,所以MEOC, 则EMD( 或其补角 ) 为异面直线OC与MD所成的角,由已知可得DE2,EM3, MD5, 因为 (2) 2( 3) 2( 5) 2, 所以DEM为直角三角形, 所以 tan EMD DE EM 2 3 6 3 . 所以异面直线OC与MD所成角的正切值为 6 3 .
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