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课时作业 29平面向量的应用 一、选择题 1在 ABC 中,“ ABC 为直角三角形”是“ AB BC 0”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:若ABC为直角三角形, 角 B 不一定为直角, 即AB BC 不 一定等于 0;若AB BC 0,则 ABBC,故角 B 为直角,即 ABC 为 直角三角形,故 “ABC 为直角三角形 ”是“AB BC 0”的必要不 充分条件 答案: B 2已知点 M(3,0), N(3,0), 动点 P(x, y)满足|MN | |MP |MN NP 0,则点 P 的轨迹的曲线类型为 () A双曲线B抛物线 C圆D椭圆 解析:MN (3,0)(3,0)(6,0),|MN |6,MP (x,y)(3,0) (x3,y),NP (x,y)(3,0)(x3,y),|MN | |MP |MN NP 6x3 2y26(x3)0,化简可得 y212x.故点 P 的轨迹为抛 物线 答案: B 3(2017 河南适应性测试 )已知向量 m(1,cos ),n(sin , 2),且 mn,则 sin2 6cos 2的值为 ( ) A. 1 2 B2 C2 2 D2 解析:由题意可得 m nsin 2cos 0,则 tan 2,所以 sin2 6cos 2 2sin cos 6cos 2 sin2 cos 2 2tan 6 tan 2 12.故选 B. 答案: B 4已知 O 为坐标原点, a(1,1),OA ab,OB ab,当 AOB为等边三角形时, |AB |的值是() A. 2 6 9 B.4 2 9 C.2 6 3 D.8 3 解析: 设 b(x,y),|OA |OB |AB |, |ab|ab|2|b|, a b0 |a|3|b| , xy0 23x 2y2 , x 3 3 y 3 3 或 x 3 3 , y 3 3 , |AB |2|b| 2 6 3 ,故选 C. 答案: C 5 (2017 福建质检 )平行四边形 ABCD 中,AB4, AD2, AB AD 4,点 P 在边 CD 上,则 PA PB 的取值范围是 () A1,8 B1,) C0,8 D1,0 解析: 由题意得 AB AD |AB | |AD | cosBAD4, 解得 BAD 3, 以 A 为原点, AB所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则A(0,0), B(4,0),C(5,3),D(1,3),因为点 P 在边 CD 上,所以不妨设点 P 的坐标为 (a,3)(1a5),则PA PB (a,3)(4a,3) a24a3(a2)21,则当 a2 时,PA PB 取得最小值 1,当 a5 时,PA PB 取得最大值 8,故选 A. 答案: A 6在ABC 中,满足|AC |BC |,(AB 3AC )CB ,则角 C 的大 小为() A. 3 B. 6 C.2 3 D.5 6 解析: 设ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,由(AB 3AC )CB ,可得 (AB 3AC ) CB (AB 3AC )(AB AC )c23b2 4AB AC c23b24cbcosAc23b22(b2c2a2)0,即 b2c2 2a20.又由|BC |AC |可得 ab,则 c23a2,由余弦定理可得cosC a2b 2c2 2ab a 2a23a2 2a 2 1 2,所以 ABC 的内角 C 2 3 . 答案: C 二、填空题 7(2017 广西二市模拟 )已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 P、Q 分别是边AB、BC 边上的动点且DP AQ ,则 CP QP 的最小值为 _ 解析: 如图所示,由条件易证ABQDAP,设 APBQ t(0t2), 建立平面直角坐标系, 则 C(0,2),P(2,t),Q(2t,2),CP (2, t2),QP (t,t2),CP QP 2tt 24t4(t1)233,当 且仅当 t1 时,等号成立,故所求最小值为3. 答案: 3 8已知 |a|2|b|,|b|0,且关于 x 的方程 x 2|a|xa b0 有两 相等实根,则向量a 与 b的夹角是 _ 解析: 由已知可得 |a|24a b0,即 4|b|242|b| 2cos 0, cos 1 2.又0 , 2 3 . 答案: 2 3 9设向量 a(2cos ,2sin ),b(cos ,sin ),其中 0 0.所以 cosB 2 2 ,又 B(0,),所以 B 4. (2)因为|BA BC |6,所以|CA |6.即 b6,根据余弦定理 及基本不等式得 6a2c2 2ac2ac2ac(2 2)ac(当且仅当 a c 时 取 等 号 ),即ac3(22) , 故 ABC 的 面 积 S 1 2 acsinB 321 2 , 即ABC 的面积的最大值为 3 23 2 . 1(2017 河北衡水中学调研 )已知单位向量 a,b,若 a b0,且 |ca|c2b| 5,则|c2a|的取值范围是 () A1,3 B2 2,3 C. 6 5 5 ,2 2D. 6 5 5 ,3 解析: 由题设单位向量 a(1,0),b(0,1),c(x,y),所以 c a(x1,y),c2b(x,y2),所以x1 2y2 x2 y2 2 5,即(x,y)到 A(1,0)和 B(0,2)的距离和为5,即表示点 (1,0)和(0,2) 之间的线段, |c2a|x2 2y2,表示(2,0)到线段 AB 上点的距 离,最小值是点 (2,0)到直线 2xy20 的距离,|c2a|min 6 5 6 5 5 ,最大值为 (2,0)到(1,0)的距离是3,所以 |c2a|的取值范围是 6 5 5 ,3 ,故选 D. 答案: D 2(2017 安徽皖北协作体联考 )已知 a,b,c 分别为 ABC 的三 个内角 A,B,C 的对边,向量 m(2cosC1,2),n(cosC,cosC 1),若 mn,且 ab10,则ABC周长的最小值为 () A105 3 B105 3 C102 3 D102 3 解析:mn,m n0,即 2cos 2CcosC2cosC20,整 理得 2cos 2C3cosC20,解得 cosC1 2,cosC2(舍去 ),又 c 2a2b22abcosC(ab)22ab(1cosC)1022ab(11 2)100 (ab 2 )21002575, c5 3, 则ABC 的周长为 abc10 5 3.故选 B. 答案: B 3 P, Q 为三角形 ABC 中不同的两点,若 3PA 2PB PC 0,3QA 4QB 5QC 0,则 SPABSQAB为() A12 B25 C52 D21 解析: 设ABC 为 ABAC2 的等腰直角三角形,建立坐标系如图, 设 A(0,0),B(2,0),C(0,2),设 P(x1,y1),Q(x2,y2)由 3PA 2PB PC 0 得 3(x1,y1)2(2x1,y1)(x1,2y1)(0,0), 得 26y10,y1 1 3,则 S PAB 1 6S CAB. 由 3QA 4QB 5QC 0 得 3(x2,y2)4(2x2,y2)5( x2,2y2)(0,0), 1012y20,y2 5 6, 则 SQAB 5 12S CAB, SPAB SQAB 2 5 ,故选 B. 答案: B 4已知O 为ABC 内一点,且 OA OC 2OB 0,则 AOC 与ABC 的面积之比是 _ 解析: 如图所示,取 AC 中点 D. OA OC 2OD . OD BO .O 为 BD 中点, 面积比为高之比 答案: 12 5(2016 浙江卷)已知平面向量a,b,|a|1,|b|2,a b1, 若 e为平面单位向量,则 |a e|b e|的最大值是 _ 解析: 由 a b1,|a|1,|b|2 可得两向量的夹角为60 ,建立 平面直角坐标系, 可设 a(1,0),b(1, 3),e(cos ,sin ),则|a e| |b e|cos |cos 3sin |cos |cos |3|sin |3|sin | 2|cos |7,所以|a e|b e|的最大值为7. 答案:7 版权所有:高考资源网()
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