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1 / 9 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 理科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】集合21,N,故1,2MN. 【提示】用描述法表示两集合求两集合并集 【考点】并集的运算 2.【答案】 A 【解析】由题知 2 2zi,所以 12 (2i)( 2i)45z z 【提示】给出一复数并给出另一复数与其的关系求两复数乘积. 【考点】复数代数的基本运算 3.【答案】 A 【解析】由已知得 2 |10|ab, 2 |6ab,两式相减,得44a b,所以1a b 【提示】给出限定条件求两向量乘积 【考点】向量的基本运算 4. 【答案】 B 【解析】 根据三角形面积公式,得 11 sin 22 BA BCB,即 11 12sin 22 B,得 2 sin 2 B,其中CA. 若 B 为锐角,则 4 B,所以 2 12212 2 1ACAB, 易知 A 为直角,此时ABC 为直角三角形,所以B 为钝角,即 3 4 B, 所以 2 122 125 2 AC. 【提示】利用三角函数求三角形其中一边边长 【考点】三角函数 5. 【答案】 A 【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件A, “第二天空气质量为优良”为事件B, 2 / 9 则 P(A) =0.75,P(AB)=0.6,由题知要求的是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率, 根据条件率公式得 ()0.6 (|0.8 . ) ( )075 p AB p A P B A 【提示】给出随机事件求概率 【考点】随机事件的概率 6. 【答案】 C 【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积为 22 32 2434( 3 cm) , 原毛坯的体积为 2 3654( 3 cm) ,切削掉部分的体积为54 34 20( 3 cm) , 故所求的比值为 2010 5427 . 【提示】由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可. 【考点】三视图 7. 【答案】 D 【解析】逐次计算,可得2M,5S,2k;2M7S,3k,此时输出7S 【提示】根据条件,依次运行程序,即可得到结论. 【考点】程序框图 8. 【答案】 D 【解析】 1 1 ya x ,根据已知得,当0 x时,2y,代入解得3a 【提示】给原函数式并给出在某点的切线方程求原式上的未知量. 【考点】导数的意义 9.【答案】 B 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知, 目标函数在点(5,2)A处取得最大值,故目标函数的最大值为2528 【提示】做出不等式的平面区域,求目标函数的最大值 3 / 9 【考点】线性规划 10. 【答案】 D 【解析】抛物线的焦点为F 3 ,0 4 , 则过点 F 且倾斜角为30的直线方程为 33 34 yx, 即 3 4 3xy, 代 入 抛 物 线 方 程 得 29 3 30 4 yy设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy, 则 12 3 3yy, 12 9 4 y y, 则 2 12 11399 |(3 3)4 22444 OAB SOFyy 【提示】给出抛物线的标注方程并给出约束条件求锁定区域三角形的面积 【考点】抛物线的基本性质 11. 【答案】 C 【解析】如图,E 为 BC 的中点 .由于 M,N 分别是 11 A B, 11 AC的中点,故 11 MNB C且 11 1 2 MBNC, 故MNBE所以四边形MNEB 为平行四边形,所以ENBM,所以直线AN,NE 所成的角即为直线BM, AN 所成的角 .设1BC,则 111 12 = 22 B MA B,所以 16 1= 22 MBNE, 5 2 ANAE,在 ANE 中,根据余弦定理得 655 444 65 22 30 1 cos 02 ANE. 【提示】给出约束条件求异面直线的余弦值 【考点】异面直线及其所成的角 12. 【答案】 C 【解析】函数( )f x的极值点满足 2m k x ,即 1 2 xkm,( )f x kZ,且极值为3,问题等价于 存在 0k使之满足不等式 2 22 0 1 3 2 mkm.因为 2 1 2 k 的最小值为 1 4 , 4 / 9 所以只要 221 3 4 mm成立即可,即 2 4m,解得2m或2m,故 m 的取值范围是()(, 2,)2. 【提示】给出解析式并给予约束条件求未知量的取值范围. 【考点】函数基本计算,极值的性质 第卷 二、填空题 13.【答案】 1 2 【解析】展开式中 7 x的系数为 33 10 C15,a即 3 1 8 a,解得 1 2 a. 【提示】给出一解析式求其展开式某项的系数 【考点】二项式定理 14.【答案】 1 【解析】( )sin()2sincossincoscos sin2sincosf xxxxxx sincossincos()sinxxx.( )f x的最大值为1 【提示】 由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为( )sinf xx,从而求得函数的最 大值 . 【考点】三角函数的最值 15. 【答案】( 1,3) 【解析】根据偶函数的性质,易知( )0f x的解集为( 2,2), 若(1)0f x,则212x,解得13x 【提示】给出函数的奇偶性、单调性并给出约束条件求自变量x 取值范围 【考点】函数单调性,函数奇偶性 16. 【答案】 1,1 【解析】在OMN 中, 2 0 11+OMONx,所以设ONM,则45135.根据正弦定理得 2 0 1 1 sinsin45 x ,所以 2 0 2si11n,2x, 所以 2 001x,即011x,故符合条件的0 x的取值 范围为 1,1. 【提示】给出圆的标准函数,利用正弦定理、圆的性质求解未知量的取值范围. 【考点】正弦定理,圆的性质 三、解答题 5 / 9 17.【答案】()见解析 ()见解析 【解析】 ()由 1 31 nn aa得 1 11 3 22 nn aa.又 1 13 22 a,所以 1 2 n a 是首项为 3 2 ,公比为 3 的 等比数列 . 13 22 n n a,因此 n a 的通项公式为 31 2 n n a. ()由()知 12 31 n n a ,因为当1n时, 1 3123 nn , 所以 1 11 3123 nn .于是 1 12 11111 1 33 n n aaa 313 1 232 n .所以 12 1113 2 n aaa . 【提示】给出相关项求等比数列通项公式,利用等比数列性质证明相关结论 【考点】数列的求和,等比数列的性质 18.【答案】()见解析 () 3 8 【解析】()连接BD 交 AC 于点 O,连结 EO.因为 ABCD 为矩形,所以O 为 BD 的中点 .又 E 为 PD 的中 点,所以EOPB.EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以PBAEC平面. ()因为PAABCD平面,ABCD 为矩形,所以AB,AD,AP 两两垂直 . 如图,以A 为坐标原点,AB的方向为x 轴的正方向,|AP为单位长, 建立空间直角坐标系Axyz则(0,3,0)D, 3 1 0, 22 E , 3 1 0, 22 AE. 设(,0,0)(0)b mm,则(, 3,0)c m,(, 3,0)ACm. 设 1 ( , , )nx y z为平面 ACE 的法向量,则 1 1 0 0 n AC n AE ,即 30 31 0 22 mxy yz ,可取 1 3 , 1, 3n m . 又 2 (1,0,0)n为平面 DAE 的法向量,由题设 12 1 |cos,| 2 n n,即 2 31 342m ,解得 3 2 m. 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥EACD的高为 1 2 . 6 / 9 三菱锥EACD的体积 11313 3 32228 V. 【提示】给出约束条件证明线面平行、给出二面角求空间几何体体积. 【考点】二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定 19.【答案】()0.52.3yt () 6.8 千元 【解析】()由所给数据计算得12 1 3456 7 74t, 2.93.33.64.44.85.25.94 1 . 7 3y 7 2 1 1 94101()4928 t tt 7 11 1 31.42110.7()()( )()( )( )( )()00.11 0.5 20.93 1.6 14 t ttyy 7 11 1 7 2 1 1 ()() 14 0.5 28 () t t ttyy b tt , 4.30.542.3aybt. 所求回归方程为0.52.3yt. ()由()知0.50b,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增 加 0.5 千元 .将 2015 年的年份代号9t带入()中的回归方程,得0.592.36.8y,故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为6.8 千元 . 【提示】给出相关数据求回归方程、利用回归方程求居民家庭人均收入. 【考点】线性回归方程 20.【答案】() 1 2 ()72 7ab, 7 / 9 【解析】()根据 22 cab及题设知 2 , b Mc a , 2 23bac将 222 bac代入 2 23bac, 解得 1 2 c a ,2 c a (舍去)故C 的离心率为 1 2 . () 由题意, 原点O为 12 F F的中点, 2 MFy轴,所以直线 1 MF与y轴的交点(0,2)D是线段 1 MF的中点, 故 2 4 b a ,即 2 4ba 由 1|5|MNF N得11|2|DFF N.设11(,)N xy,由题意知10y,则 1 1 2() 22 cxc y , 即 1 1 3 , 2 1 xc y 代入 C 的方程,得 2 22 91 1 4 c ab . 将及 22 cab代入得 2 2 9(4 )1 1 44 aa aa 解得 2 7428aba,故727ab,. 【提示】给出约束条件利用直线与椭圆的关系求椭圆离心率.给出约束条件求出椭圆标准方程. 【考点】椭圆的应用 21.【答案】()(,) () 2 () 0.693 【解析】()( )ee20 xx fx,等号仅当0 x时成立 .所以( )f x在(,). () 22 ( )(2 )4( )ee4 (ee)(84) xxxx g xfxbf xbbx, 22 ( )2ee2 (ee)(42)2(ee2)(ee22) xxxxxxxx g xbbb. ()当2b时,( )0gx,等号仅当0 x时成立,所以( )g x在(,)单调递增 . 而0(0)g,所以对任意0( )0 xg x,; ( ii)当2b时,若x满足2ee22 xx b,即 2 0ln(12 )xbbb时,0( )g x. 而(0)0g,因此当 2 0ln(12 )xbbb时,( )0g x.综上, b 的最大值为2 ()由()知 3 (ln2)2 22(21)ln 2 2 gbb. 当2b时, 3 (ln2)4 26ln 20 2 g; 8 23 ln 2 12 0.6928; 8 / 9 当 3 2 1 4 b时, 2 ln(12 )ln2bbb, 3 (ln2)2 2(3 22)ln 20 2 g, 182 ln 20.6934 28 ,所以ln 2的近似值为0.693 【提示】给出函数表达式利用函数的导数求函数的单调性、原函数组成的新函数给出约束条件求表达式中 未知量的最大值.求近似值 【考点】函数单调性,导数的应用,求极值 22.【答案】()见解析 ()见解析 【解析】()连结AB,AC.由题设知PAPD,故PADPDA. 因为PDADACDCA,PADBADPAB ,CA=PAB, 所以 DAC=BA
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