资源预览内容
亲,该文档总共11页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第 3 课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正、余弦函数的图象与性质 正弦函数余弦函数 图象 值域1,11,1 单调性 在 2k 2,2k 2 (kZ) 上递增, 在 2k 2,2k 3 2 (kZ) 上递减 在2k ,2k( kZ)上递 增, 在2k ,2k ( kZ)上递 减 最值 x2k 2(kZ)时,ymax 1; x2k 2(kZ)时,ymin 1 x2k (kZ)时,ymax1; x2k (kZ)时,ymin 1 状元随笔(1)正、余弦函数的单调性: 求解或判断正弦函数、 余弦函数的单调区间 (或单调性 )是求与之 相关的复合函数值域 (最值)关键的一步; 单调区间要在定义域内求解; 确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时,要注意 用复合函数法来判断 (2)正、余弦函数的最值 明确正、余弦函数的有界性,即|sinx|1, |cosx|1; 对有些函数,其最值不一定就是1 或1,要依赖函数的定义域 来决定; 形如 yAsin(x)(A0 , 0) 的函数求最值时,通常利用“整 体代换”,即令x z,将函数转化为yAsinz 的形式求最值 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”,错误的打“”) (1)正弦函数 ysin x 在 R 上是增函数 () (2)正弦函数 ysin x 的一个增区间是 0, () (3)当余弦函数 ycos x 取最大值时, x 2k ,kZ.() 答案:(1)(2)(3) 2函数 ysin x 2 ,xR 在() A. 2, 2 上是增函数B0, 上是减函数 C ,0上是减函数D , 上是减函数 解析:ysin x 2 cos x,所以在区间 ,0上是增函数,在0, 上是减函数 答案:B 3下列函数中,既为偶函数又在(0,)上单调递增的是 () Aycos|x| Bycos|x| Cysin x 2 Dysinx 2 解析:ycos|x|在()0,上是减函数, 排除 A;ycos|x|cos|x|, 排除 B;ysin x 2 sin 2x cos x 是偶函数,且在(0,) 上单 调递增,符合题意; ysinx 2在(0,) 上是单调递减的 答案:C 4函数 y12cos 2x 的最小值,最大值分别是 () A1,3 B1,1 C0,3 D0,1 解析:1cos 2x1,1y3. 答案:A 类型一正、余弦函数的单调性 例 1(1)函数 f(x)sin x 6 的一个递减区间是 () A. 2, 2 B ,0 C. 2 3 , 2 3 D. 3, 4 3 (2)函数 ycos 2x 3 的单调递增区间是 _ 【解析】(1)由 3x 4 3 ,可得 2x 6 3 2. 所以 3, 4 3 是函数 的一个减区间 (2)因为 2k 2x 32k ,kZ.所以 k 3xk 6, kZ. 【答案】(1)D(2) k 3,k 6 (kZ) (1)由 A,B,C,D 中 x 的范围,求出 x 6的范围,验证是否为减 区间 (2)将 2x 3 代入到 2k ,2k ,kZ 中,解出 x 的范围,即 可得增区间 方法归纳 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间 (2)在求形如 yAsin(x )(A0, 0)的函数的单调区间时,应 采用“换元法”整体代换,将“x ”看作一个整体“ z”,即通过 求 yAsinz 的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x )(A0, 0)的函数的单调区间同上 (3) 0 后求解;若A0, 则单调性相反 跟踪训练 1(1)下列函数,在 2,上是增函数的是 ( ) A.ysin x Bycos x Cysin 2x Dycos 2x (2)求函数 y2sin 32x 的单调递增区间 解析:(1)因为 ysin x 与 ycos x 在 2,上都是减函数,所以排 除 A,B. 因为 2x ,所以 2x2. 因为 ysin 2x 在 2x ,2 内不 具有单调性,所以排除C. (2)由 y2sin 32x ,得 y2sin 2x 3 . 要求函数y2sin 32x 的单调递增区间,只需求出函数 y 2sin 2x 3 的单调递减区间 令 22k 2x 3 3 2 2k ,kZ,解之得 5 12k x 11 12 k , kZ. 函数的单调递增区间为 5 12k , 11 12 k(kZ) 答案:(1)D(2) 5 12k , 11 12 k(kZ) (1)逐个验证选项把不符合题意的排除 (2)首先利用诱导公式化简函数为y2sin 2x 3 , 再利用性质求 增区间 类型二比较三角函数值的大小 例 2比较下列各组数的大小: (1)sin 250与 sin 260 ; (2)cos 15 8 与 cos 14 9 . 【 解析 】(1) 函 数y sin x 在 2, 3 2 上 单调 递 减 , 且 90 250 260 sin 260 . (2)cos 15 8 cos 2 8 cos 8,cos 14 9 cos2 4 9 cos 4 9 . 函数 ycos x 在0, 上单调递减,且 0 8 4 9 cos 4 9 ,cos 15 8 cos 14 9 . 利用诱导公式, 将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内, 利用单调性判断大小 方法归纳 比较三角函数值大小的方法 (1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值 (2)不同名的函数化为同名函数 (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间 跟踪训练 2比较下列各组数的大小 (1)sin 37 6 与 sin49 3 ; (2)cos 870与 sin 980 . 解析:(1)sin 37 6 sin 6 6 sin 6 ,sin49 3 sin 16 3 sin 3, 因为ysin x 在 2, 2 上是增函数,所以sin 6 sin 3,即 sin 37 6 sin49 3 . (2)cos 870cos(720 150 )cos 150 ,sin 980 sin(720 260 ) sin 260 sin(90 170 )cos 170 , 因为 0 150 170 cos 170, 即 cos 870 sin 980 . 首先利用诱导公式化成同名的三角函数,把角转化为同一单调区 间,最后利用函数的单调性比较大小 类型三正、余弦函数的最值问题 例 3函数 y2cos 2x 6 1 的最小值是 _, 此时 x_. 【解析】当 2x 6 2k ,kZ,x 5 12k ,kZ 时, ymin213. 【答案】3 5 12k ,kZ 观察函数解析式特点,由ycos 2x 6 的最小值,求函数y 2cos 2x 6 1 的最小值,并求 x 的取值 方法归纳 求正、余弦函数最值问题的关注点 (1)形如 yasin x(或 yacos x)的函数的最值要注意对a 的讨论 (2)将函数式转化为 yAsin(x )或 yAcos(x )的形式 (3)换元后配方利用二次函数求最值 跟踪训练 3求下列函数的值域: (1)ycos x 6 ,x 0, 2 ; (2)y2sin 2x2sin x1 2,x 6, 5 6 . 解析(1)由 ycos x 6 ,x0, 2可得 x 6 6, 2 3 ,函数 y cos x 在区间 6, 2 3 上单调递减,所以函数的值域为1 2, 3 2 . (2)令 tsin x,y2t 22t1 22 t 1 2 21. x 6, 5 6 ,1 2sin x1,即 1 2t1, 1y 7 2,函数 f(x)的值域为 1, 7 2 . (1)先由 x 的范围求出 x 6的范围,再求值域 (2)先换元令 tsin x,再利用二次函数求值域 基础巩固 (25 分钟, 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 25 分) 1已知函数 ysin x 和 ycos x 在区间 M 上都是增函数,那么区 间 M 可以是 () A. 0, 2 B. 2, C. , 3 2 D. 3 2 ,2 解析:ysin x 在 0, 2 和 3 2 ,2上是增函数, ycos x 在( ,2) 上是增函数,所以区间M 可以是 3 2 ,2. 答案:D 2函数 y2sin x 的最大值及取最大值时x 的值为 () Aymax3,x 2 Bymax1,x 22k( kZ) Cymax3,x 22k( kZ) Dymax3,x 22k( kZ) 解析:当 x 22k( kZ)时,ysin x 有最小值 1,函数 y2 sin x 有最大值 3. 答案:C 3符合以下三个条件:0, 2 上递减;以 2为周期;为奇 函数这样的函数是 () Aysin xBysin x Cycos xDycos x 解析:在 0, 2 上递减,可以排除A,是奇函数可以排除C,D. 答案:B 4下列不等式中成立的是 () Asin 8 sin 10 Bsin 3sin 2 Csin7 5sin 2 5 Dsin 2cos 1 解析:因为 sin 2cos 22 cos 2 2 ,且 02 21cos 1,即 sin 2cos 1. 答案:D 5函数 y2sin x 3 (x ,0)的单调递增区间是 () A. , 5 6 B. 5 6 , 6 C. 3,0 D. 6,0 解析:方法一y2sin x 3 ,其单调递增区间为 22k x 3 22k ,kZ,则 62k x 5 6 2k ,kZ. 由于 x ,0,所以其单调递增区间为 6,0 . 方法二函数在 5 6 取得最大值,且其最小正周期为2 ,则其单调 递增区间为 5 6 ,5 6 ,即 6, 5 6 ,又 x ,0,所以其单调递 增区间为 6,0 . 答案:D 二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) 6函数 ycos 42x 的单调递减区间为 _ 解析:ycos 42x cos 2x 4 , 由 2k 2x 42k ( kZ), 得 k 8xk 5 8 (kZ) 所以函数的单调减区间为k 8,k 5 8 (kZ) 答案: k 8,k 5 8 (kZ) 7函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0, 2 上的最小值为 _ 解析: 当 0 x 2时, 42x 4 3 4 , 因为函数 ysin x 在 0,3 4 上的函数值恒为正数,在 4,0 上的函数值恒为负数, 且在 4,0 上 为增函数,所以函数f(x)的最小值为 f(0) 2 2 . 答案: 2 2 8sin2 7 _sin 15 8 (填“”或“”) 解析:sin 15 8 sin 2 8 sin 8,因为 0 8 2 7 2,ysin x 在 0, 2 上单调递增,所以sin 8sin 2 7 ,即 sin 15 8 三、解答题 (每小题 10 分,共 20 分) 9求下列函数的单调区间: (1)ycos 2x;(2)y2sin 4x . 解析:(1)函数 ycos 2x 的单调递增区间、 单调递减区间分别由下 面的不等式确定: 2k 2x2k ,kZ,2k 2x2k ,kZ. k 2xk ,kZ,k xk 2,kZ. 函数 ycos 2x 的单调递增区间为k 2,k,kZ,单调递减 区间为 k ,k 2 ,kZ. (2)y2sin 4x 2sin x 4 ,函数 y2sinx 4的单调递增、 递减区间分别是函数
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号