资源预览内容
亲,该文档总共12页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 数量积的坐标表示cc 两个向量夹角 的坐标运算 b b 平面向量模 的坐标运算 b b 知识导图 学法指导 1.学习了本节后,我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方 法,通过一题两解,体会基底法和坐标法的优劣及选择依据 2通过数形结合,对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比,培 养学生联想的记忆方法 . 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a(x1,y1),b(x2,y2),a 与 b的夹角为 . 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 a bx1x2y1y2 两个向量垂 直 ab? x1x2y1y20 状元随笔对数量积的坐标表示的理解 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和; (2)引入坐标运算后,使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐 标运算联系起来,从而使得向量的工具性作用更强; (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题,用向量的坐 标运算来实现几何问题的求解,数形结合的思想在数量积的应用中将 体现更多 2三个重要公式 向量模公式:设 a(x1,y1),则|a|x2 1y 2 1 两 点 间 距 离 公 式 : 若A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则 | AB | x2x1 2 y 2y1 2 向量的夹角公式:设两非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a 与 b 的夹角为 ,则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2 2y 2 2 状元随笔对向量模长公式的理解 (1)模长公式是数量积的坐标表示a bx 1x2y1y2 的一种特例, 当 a b 时,则可得 |a |2x2 1y 2 1; (2)若点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB (x2x1,y2y1),所以|AB | x2x1 2 y 2y1 2,即|AB |的实质是A,B 两点间的距离或线段 AB 的长度,这也是模的几何意义 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”,错误的打“”) (1)两个非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2),满足 x1y2x2y10,则 向量 a,b 的夹角为 0 .() (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和() (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定 为钝角 () 答案:(1)(2)(3) 2已知 a(3,4),b(5,2),则 a b的值是 () A23B7 C23 D7 解析:由数量积的计算公式得, a b(3,4) (5,2)3542 7. 答案:D 3已知 a(2,1),b(x,2),且 ab,则 x 的值为() A1 B0 C1 D2 解析:由题意, a b(2,1) (x,2)2x20,解得 x1. 答案:A 4已知 a(1,3),b(2,0),则|ab|_. 解析:因为 ab(1, 3),所以|ab|1 2 3 22. 答案:2 类型一数量积的坐标运算 例 1(1)设向量 a(1,2),向量 b(3,4),向量 c(3,2),则 向量(a2b)c() A(15,12) B0 C3 D11 (2)已知向量 a(1,2), b(2, x), 且 a b1, 则 x 的值等于 () A.1 2 B 1 2 C.3 2 D 3 2 【解析】(1)依题意可知, a2b(1,2)2(3,4)(5,6), 所以(a2b)c(5,6) (3,2)53623. (2)因为 a(1,2),b(2,x),所以 a b(1,2) (2,x)122x 1,解得 x 3 2. 【答案】(1)C(2)D (1)先求出 a 2 b ,然后利用平面向量的数量积求出( a 2 b) c . (2)利用平面向量的数量积运算求出a b,由 a b 1 得出关 于 x 的方程求解 方法归纳 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用 数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算 跟踪训练 1已知 a(2,1),b(3,2),若存在向量 c,满足 a c 2,b c5,则向量 c_. 解析:设 c(x,y),因为 a c2,b c5,所以 2xy2, 3x2y5, 解 得 x9 7, y4 7, 所以 c 9 7, 4 7 . 答案: 9 7, 4 7 设 c (x,y),利用平面向量的数量积运算,列出关于x,y 的方 程求解 类型二平面向量的模 例 2(1)设 xR,向量 a(x,1),b(1,2),且 ab,则|a b|() A.5 B. 5 2 C2 5 D5 (2)已知向量 a(1,2),b(3,2),则|ab|_,|ab| _. 【解析】(1)因为 a(x,1), b(1, 2), 且 ab, 所以2x11 0,解得 x 1 2. 所以 ab 1 2,1 (1, 2) 1 2,1 , |ab| 1 2 2 12 5 2 . (2)由题意, 知 ab(2,4), ab(4,0), 所以|ab|2 242 2 5,|ab|4. 【答案】(1)B(2)2 54 (1)两向量 a (x1,y1), b (x2,y2)共线的坐标表示: x1y2x2y1 0. (2)已知 a (x,y),则| a |x 2y2. 方法归纳 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a| 2a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问 题 (2)坐标表示下的运算 若 a(x,y),则 a aa2|a| 2x2y2,于是有 |a| x2y2. 跟踪训练 2(1)设平面向量 a(1,2),b(2,y),若 ab,则|3a b|等于() A.5 B. 6 C. 17 D. 26 (2)已知|a|10,b(1,2),且 a b10,则 a 的坐标为 _ 【解析】(1)因为 ab,所以 1 y2(2)0, 解得 y4,从而 3ab(1,2),|3ab|5. (2)设 a 的坐标为 (x,y),由题意得 x2y10, x 2y210, 即 x2y10, x 2y2100, 解得 x10, y0, 或 x6, y8, 所以 a(10,0)或 a(6,8) 【答案】(1)A(2)(10,0)或(6,8) (1)由 a b 求 y,再求 3 a b 的坐标,利用公式求模 (2)设 a (x,y),由已知列方程组,求x,y. 类型三平面向量的夹角 (垂直) 例 3(1)已知向量 a(1,2),b(2,4),|c| 5,若(cb)a 15 2 ,则 a 与 c的夹角为 () A.30 B60 C120 D150 (2)已知向量 a(1,1),b(2,3),若 a2b与 a 垂直,则实数 等于_ 【解析】(1)由 a b10,得 (cb)ac ab ac a1015 2 ,c a 5 2. 设 a 与 c 的夹角为 ,则 cos a c |a|c| 5 2 55 1 2. 又 0 ,180 , 120 . (2)方法一 a2b( , )2(2,3)( 4, 6) ( a2b)a,( a2b)a0,( 4)( 6)0, 1. 方法二( a2b)a,( a2b)a0,即 a22a b, (11)2(1,1) (2,3),即 2 2, 1. 【答案】(1)C(2)1 (1)先求 a b , 再由已知求 c a最后利用 cos a c | a |c | , 求夹角 (2) 已知向量垂直求参数, 由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程, 求解即可 方法归纳 利用数量积求两向量夹角的步骤 数量积 :利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数 量积. 模:利用|a|计算出这两个向量的模 . 余弦值:由公式 cos x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2 直接求出 cos 的值. 角:在 0 内,由 cos 的值求角 . 跟踪训练 3已知平面向量 a(3,4), b(9, x), c(4, y), 且 ab, ac. (1)求 b与 c; (2)若 m2ab,nac,求向量 m,n 的夹角的大小 解析:(1)因为 ab,所以 3x49,所以 x12. 因为 ac,所以 344y0,所以 y3,所以 b(9,12),c (4,3) (2)m2ab(6,8)(9,12)(3,4),nac(3,4)(4, 3)(7,1) 设 m、 n 的夹角为 , 则 cos m n |m|n| 37 4 1 3 2 42 7 212 25 25 2 2 2 . 因为 0, ,所以 3 4 , 即 m,n 的夹角为 3 4 . (1)由 a b 求 x,由 a c 求 y. (2)利用 cos m n |m |n | ,求夹角 2.4.2 基础巩固 (25 分钟, 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 25 分) 1 若向量 a(3,m),b(2, 1), a b0,则实数 m 的值为() A 3 2 B.3 2 C2 D6 解析:依题意得 6m0,m6,选 D. 答案:D 2向量 a(1,1),b(1,2),则(2ab)a() A1 B0 C1 D2 解析:a(1,1),b(1,2), (2ab)a(1,0) (1,1)1. 答案:C 3已知 a,b 为平面向量,且a(4,3),2ab(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 () A. 8 65 B 8 65 C.16 65 D 16 65 解析:a(4,3),2a(8,6)又 2ab(3,18), b(5,12),a b203616. 又|a|5,|b|13, cosa,b 16 513 16 65. 答案:C 4已知向量a(1,2),b(3,1),c(k,4),且(ab)c,则 k () A6 B1 C1 D6 解析:a(1,2),b(3,1),ab(4,1),(ab)c, 4k40,解得 k1. 答案:C 5设向量 a(x,1),b(1,3),且 ab,则向量 a3b与 b 的夹角为 () A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析:向量 a(x,1),b(1, 3),且 ab,则 a bx30, 得 x3, a3b( 3, 1)3(1, 3)(0,4), (a3b)b01 4(3)4 3,|a3b|4,|b|2,设向量 a3b与 b的夹 角为 ,则 cos a3b b |a3b| |b| 4 3 42 3 2 ,0 , 5 6 . 答案:D 二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) 6a(4,3),b(1,2),则 2|a| 23a b_. 解析:因为 a(4,3),所以 2|a|22(4 232)250. a b41322. 所以 2|a| 23a b503244. 答案:44 7 设向量 a(1,0), b(1, m) 若 a(mab), 则 m_. 解析:由题意得, mab(m1,m),根据向量垂直的充要条 件可得 1(m1)0(m)0,所以 m1. 答案:1 8已知平面向量 a(1,2),b(4,2),cmab(mR),且 c与 a 的夹角等于 c与 b的夹角,则 m_. 解析:c(m4,2m2),|a|5,|b|2 5, 设 c,a 的夹角为 ,c,b的夹角为 , 又因为 cos c a |c|a|,cos c b |c|b|, 由题意知 c a |a| c b |b| ,即 5m8 5 8m20 2 5 . 解得 m2. 答案:2 三、解答题 (每小题 10 分,共 20 分) 9已知平面向量 a(1,x),b
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号