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课后限时集训 56 双曲线 建议用时: 45 分钟 一、选择题 1(2019浙江高考) 渐进线方程为xy0 的双曲线的离心率是( ) A. 2 2 B 1 C.2 D 2 C 根据渐进线方程为xy0 的双曲线,可得ab,所以c2a 则该双曲线的离心率为e c a 2,故选 C. 2若实数k满足 0k9,则曲线 x 2 25 y 2 9k1 与曲线 x 2 25k y 2 9 1 的( ) A离心率相等 B虚半轴长相等 C实半轴长相等 D焦距相等 D 由 0k 9, 易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上, 由259k25k 9, 得两双曲线的焦距相等 3(2019天津高考) 已知抛物线y 2 4x 的焦点为F,准线为l. 若l与双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且 |AB| 4|OF|(O为原点 ) ,则双曲线的离 心率为 ( ) A2 B3 C2 D5 Dl的方程为x 1, 双曲线的渐近线方程为y b ax, 故得 A 1,b a ,B1, b a , 所以| AB2b a , 2b a 4,b2a,所以ec a a 2 b 2 a 5,故选 D. 4已知点A( 1,0) ,B(1,0)为双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a 0,b0) 的左、右顶点,点M在双 曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则该双曲线的标准方程为( ) Ax 2y 2 4 1 Bx 2y 2 3 1 Cx 2y 2 2 1 Dx 2 y 21 D 由题意知a1. 不妨设点M在第一象限,则由题意有 |AB| |BM| 2, ABM120. 过点M作MNx轴于点N,则 |BN| 1, |MN| 3,所以M(2,3) ,代入双曲线方程得4 3 b 21,解得b 1,所以双曲线的方程为x 2 y 21,故选 D. 5已知ABC的顶点A( 5,0) ,B(5,0) ,ABC内切圆的圆心在直线x2 上,则顶点 C的轨迹方程是( ) A. x 2 4 y 2 211( x2) B y 2 4 x 2 211( y2) C. x 2 21 y 2 4 1 D y 2 4 x 2 2 1 A 如图,ABC与内切圆的切点分别为G,E,F. |AG| |AE| 7,|BF| |BG| 3,|CE| |CF| ,所以 |CA| |CB| 734. 根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点, 实轴长为 4 的双曲 线的右支,方程为 x 2 4 y 2 211( x2) 6(20 19福州模拟 ) 过双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0) 的左、右焦点分别作双曲线的两 条渐近线的平行线,若这4 条直线所围成的四边形的周长为8b,则该双曲线的渐近线方程 为( ) AyxBy2x Cy3xDy2x A 由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为8b,所以菱形的边 长为 2b,由勾股定理得4 条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b 2 c 2 3b 2 a 2,又 4 条 直线分别与两条渐近线平行,所以 b a 3b 2 a 2 a 2 b 2 ,解得ab,所以该双曲线的渐近线的斜率 为1,所以该双曲线的渐近线方程为yx,故选 A. 7已知双曲线C: x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A 在双曲线C上,若AF1F2的周长为10a,则AF1F2的面积为 ( ) A215a 2 B15a 2 C30a 2 D 15a 2 B 由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由e c a2,得 c2a,AF1F2 的周长为 |AF1| |AF2| |F1F2| |AF1| |AF2| 4a,又AF1F2的周长为10a,|AF1| |AF2| 6a,又 |AF1| |AF2| 2a, |AF1| 4a,|AF2| 2a,在AF1F2中, |F1F2| 4a, cos F1AF2 |AF1| 2| AF2| 2| F1F2| 2 2|AF1| |AF2| 4a 2 2a 2 4a 2 2 4a2a 1 4. 又 0F1AF0,b0)的一条渐近线为2xy0,一个焦点为(5,0) , 则a_;b_. 1 2 由 2xy0,得y 2x,所以 b a2. 又c5,a 2b2c2,解得 a1,b2. 9若双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为2,且过点 (4,10) ,则该 双曲线的标准方程为_ x 2 6 y 2 6 1 依题意,e2?ab. 设方程为 x 2 m y 2 m 1,则16 m 10 m 1,解得 m 6. x 2 6 y 2 61. 10设双曲线x 2y 2 3 1 的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为 锐角三角形,则|PF1| |PF2| 的取值范围是 _ (27,8) 如图,由已知可得a1,b3,c2,从而 |F1F2| 4,由对称性不妨设P在右支上, 设|PF2| m,则 |PF1| m2am2, 由于PF1F2为锐角三角形, 结合实际意义需满足 m2 2m2 42, 4 2 m2 2 m 2, 解得 17m3, 又|PF1| |PF2| 2m 2, 272m20,b0) ,它的焦点 (c,0) 到渐近线bx ay0 的距离为 |bc| b 2 a 2b. 双曲线 x 2 8m y 2 4m 1,即 x 2 8m y 2 m4 1,其焦点在x轴上, 则 8m0, m40, 解得 4m0,b0) 的左、右焦点分别为F1,F2,M 是双曲线C的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若 SOMF 216,则双曲线的实轴长是 _ 16 由题意知F2(c,0) ,不妨令点M在渐近线y b ax 上,由题意可知|F2M| bc a 2 b 2 b,所以 |OM| c 2 b 2 a. 由SOMF 216,可得 1 2ab 16,即ab32,又a 2 b 2 c 2 , c a 5 2 , 所以a 8,b4,c45,所以双曲线C的实轴长为16. 1已知椭圆M:x 2 a 2 y 2 b 21(ab0),双曲线N:x 2 m 2 y 2 n 21. 若双曲线N的两条渐近线与椭 圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 _;双曲线N的离心率为 _ 31 2 设椭圆的右焦点为F(c,0) , 双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交 点为A,由题意可知A c 2, 3c 2 ,由点A在椭圆M上得, c 2 4a 23c 2 4b 2 1,b 2c23a2c24a2b2, b 2 a 2 c 2, (a 2 c 2) c 23a2c24a2( a 2c2) , 4a48a2c2 c 40, e 4 椭8e 2 椭40,e 2 椭 42 3,e椭3 1( 舍去 ) 或e椭31, 椭圆M的离心率为3 1. 双曲线的渐近线过点A c 2, 3c 2 ,渐近线方程为y3x, n m 3,故双曲线的 离心率e双 m 2 n 2 m 22. 2已知椭圆 x 2 4 y 2 m 1 与双曲线x 2y 2 n 1 的离心率分别为e1,e2,且有公共的焦点F1, F2,则 4e 2 1e 2 2_,若P为两曲线的一个交点,则|PF1| |PF2| _. 0 3 由题意得椭圆的半焦距满足c 2 14m,双曲线的半焦距满足c 2 21n, 又因为两曲线有相同的焦点, 所以 4m 1n, 即mn3, 则 4e 2 1e 2 2 4 4m 4 (1 n)3(mn) 0. 不妨设F1,F2分别为两曲线的左、右焦点,点P为两曲线在第一象限的交点, 则 |PF1| |PF2| 4, |PF1| |PF2| 2. 解得 |PF1| 3, |PF2| 1, 则|PF1| |PF2| 3.
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